Question

【題目】如圖， 是⊙ 的直徑， 為⊙ 的弦，過點 作 ⊥ ，交 的延長線于點 ．點 在 上，且 ．

（1）求證：直線 是⊙ 的切線；
（2）若 ， ，求 的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)OB．

∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，

又∵BC=PC，

∴∠P=∠CBP，

∵OP⊥AD，

∴∠A+∠P=90°，

∴∠OBA+∠CBP=90°，

∴∠OBC=180°﹣（∠OBA+∠CBP）=90°，

∵點B在⊙O上，

∴直線BC是⊙O的切線，

（2）解：如圖，

連結(jié)DB．

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD=90°，

∴Rt△ABD∽Rt△AOP，

∴ ，即 ，AP=9，

∴BP=AP﹣BA=9﹣2=7．

【解析】（1）由OA=OB，得到∠A=∠OBA，又BC=PC，得到∠P=∠CBP，由OP⊥AD和三角形內(nèi)角和定理，求出∠OBC=90°，得到直線BC是⊙O的切線；（2）由AD是⊙O的直徑，得到兩個直角三角形Rt△ABD∽Rt△AOP，得到比例，求出AP的值，得到BP=AP﹣BA的值.
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．