Question

如圖1，已知正方形ABCD，將一個45度角∝的頂點放在D點并繞D點旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交AB邊和BC邊于點E和F，連接EF．求證：EF=AE+CF
（1）小明是這樣思考的：延長BC到G，使得CG=AE，連接DG，先證△DAE≌△DCG，再證△DEF≌△DGF，請你借助圖2，按照小明的思路，寫出完整的證明思路．
（2）劉老師看到這條題目后，問了小明兩個小問題：①如果正方形的邊長和△BEF的面積都等于6，求EF的長②將角∝繞D點繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，使得角∝的兩邊分別和AB邊延長線、BC邊的延長線交于E和F，如圖3所示，猜想EF、AE、CF三線段之間的數(shù)量關系并給予證明．請你幫忙解決．

Answer 1

（1）證明：延長BC到G，使得CG=AE，連接DG，
∵正方形ABCD，
∴AD=DC，∠A=∠BCD=∠DCG=90°，
在△DAE和△DCG中
，
∴△DAE≌△DCG，
∴DE=DG，∠ADE=∠CDG，
∵∠ADC=90°，∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠CDF=45°，
∴∠FDC+∠CDG=45°，
∴∠FDG=∠EDF=45°，
在△DEF和△DGF中
，
∴△DEF≌△DGF，
∴EF=FG=CF+CG=CF+AE，
即EF=AE+CF．

（2）①解：設EF=x，
由（1）知：四邊形DEBG的面積=正方形ABCD的面積=36，
又∵△BEF的面積是6，
∴四邊形DEFG的面積為30，
∵△DAE≌△DCG，EF=FG=x，
∴△DFG的面積為15，
∴•6x=15，
解得x=5，
∴EF=5．
②EF=AE-CF，
證明：如圖3，延長CF到點G，使得CG=AE，連接DG，
在△DAE和△DCG中
，
∴△DAE≌△DCG，
∴∠CDG=∠ADE，DE=DG，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDG+∠CDE=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠GDF=45°，
在△DFE和△DFG中
，
∴△DFE≌△DFG，
∴FE=FG，
∴CG-CF=FG=EF，
∴EF=AE-CF．
分析：（1）延長BC到G，使得CG=AE，連接DG，根據(jù)正方形的性質(zhì)推出AD=DC，∠A=∠DCG，證△DAE≌△DCG，推出DE=DG，∠EDF=∠FDG=45°，證△DEF≌△DGF推出EF=FG即可；
（2）①設EF=x，由（1）知得出四邊形DEBG的面積=正方形ABCD的面積=36，求出△DFG的面積為15，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；②延長CF到點G，使得CG=AE，連接DG，與（1）類似求出△DAE≌△DCG，再證△DFE≌△DFG，推出EF=FG即可．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點的應用，作輔助線后求出△DAE≌△DCG和△DFE≌△DFG是解此題的關鍵，主要考查學生是否正確掌握這種解題思路（證兩條線段的和等于一條線段，作輔助線的方法），題目較好．