(1)證明:延長BC到G,使得CG=AE,連接DG,
∵正方形ABCD,
∴AD=DC,∠A=∠BCD=∠DCG=90°,
在△DAE和△DCG中
,
∴△DAE≌△DCG,
∴DE=DG,∠ADE=∠CDG,
∵∠ADC=90°,∠EDF=45°,
∴∠ADE+∠CDF=45°,
∴∠FDC+∠CDG=45°,
∴∠FDG=∠EDF=45°,
在△DEF和△DGF中
,
∴△DEF≌△DGF,
∴EF=FG=CF+CG=CF+AE,
即EF=AE+CF.
(2)①解:設EF=x,
由(1)知:四邊形DEBG的面積=正方形ABCD的面積=36,
又∵△BEF的面積是6,
∴四邊形DEFG的面積為30,
∵△DAE≌△DCG,EF=FG=x,
∴△DFG的面積為15,
∴
•6x=15,
解得x=5,
∴EF=5.
②EF=AE-CF,
證明:如圖3,延長CF到點G,使得CG=AE,連接DG,
在△DAE和△DCG中
,
∴△DAE≌△DCG,
∴∠CDG=∠ADE,DE=DG,
∵∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠CDG+∠CDE=90°,
∵∠EDF=45°,
∴∠GDF=45°,
在△DFE和△DFG中
,
∴△DFE≌△DFG,
∴FE=FG,
∴CG-CF=FG=EF,
∴EF=AE-CF.
分析:(1)延長BC到G,使得CG=AE,連接DG,根據(jù)正方形的性質(zhì)推出AD=DC,∠A=∠DCG,證△DAE≌△DCG,推出DE=DG,∠EDF=∠FDG=45°,證△DEF≌△DGF推出EF=FG即可;
(2)①設EF=x,由(1)知得出四邊形DEBG的面積=正方形ABCD的面積=36,求出△DFG的面積為15,根據(jù)三角形的面積公式求出即可;②延長CF到點G,使得CG=AE,連接DG,與(1)類似求出△DAE≌△DCG,再證△DFE≌△DFG,推出EF=FG即可.
點評:本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,三角形的面積,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點的應用,作輔助線后求出△DAE≌△DCG和△DFE≌△DFG是解此題的關鍵,主要考查學生是否正確掌握這種解題思路(證兩條線段的和等于一條線段,作輔助線的方法),題目較好.