Question

(1)兩個全等的等腰直角三角形ABC和三角形EDA如圖放置，點B，A，D，在同一條直線上．那么點C，A，E在同一條直線上；

①在上圖中，作∠ABC的平分線BF，過點D作DF⊥BF，垂足為F；

②猜想：線段BF，CE的關(guān)系，結(jié)論是：________．

(2)將(1)中的“等腰直角三角形”換成“直角三角形”，其它條件不變，如圖，連結(jié)CE，請問你猜想的BF與CE的關(guān)系是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)①畫圖．　1分 　　②結(jié)論是：BF⊥CE，BF＝CE．　3分 　　(2)如圖． 　　①證明BF＝CE． 　　∵BF為∠ABF的平分線，∠ABC＝90°， 　　∴∠CBF＝∠ABF＝45°． 　　∵DF⊥BF， 　　∴∠F＝90°． 　　∵點B，A，D在同一條直線上， 　　∴△BFD為直角三角形． 　　∴cos∠FBD＝． 　　∴BF＝． 　　又∵Rt△ABC≌Rt△EDA， 　　∴BC＝AD，BA＝DE． 　　設(shè)BC＝AD＝a，BA＝DE＝b， 　　∴BD＝a＋b． 　　∴BF＝．　4分 　　過E作EH∥BD交CB的延長線于H． 　　∵∠CBA＝90°，∠ADE＝90°， 　　∴∠CBA＝∠ADE． 　　∴CH∥DE． 　　∴四邊形BHED為矩形． 　　∴BH＝DE＝b，HE＝BD＝a＋b． 　　∴CH＝a＋b． 　　∴△HCE等腰直角三角形． 　　由勾股定理，得CE＝．　5分 　　∴BF＝．　6分 　�、谧C明BF⊥CE． 　　∵Rt△CHE是等腰直角三角形， 　　∴∠HCE＝∠HEC＝45°． 　　∵∠FBC＝45°， 　　∴∠BGE＝∠HCE＋∠FBC＝90° 　　∴BF⊥CE．　7分 　　∴BF⊥CE，BF＝CE仍然成立．