如圖,AB是半圓O的直徑,長為30cm,延長AB到點C,使,有一個動點P從點B出發(fā),以2π cm/s的速度沿圓周逆時針運動,當(dāng)?shù)近cA立即停止運動.
(1)利用尺規(guī)作圖,CP與半圓O相切時點P的位置;(不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)求CP與半圓O相切時,點P運動的時間.

【答案】分析:(1)以O(shè)C為直徑作圓,與半圓AB的交點就是P,即可作出圖形,如圖所示;
(2)連接OP,由AB的長求出BC的長,即可得到OP與OC的長,由PC為半圓的切線,得到OP與PC垂直,在直角三角形OPC中,根據(jù)余弦函數(shù)定義得到cos∠POC的值,進而求出∠POC的度數(shù),又半徑為OP的長,根據(jù)弧長公式求出弧BP的長,即為點P運動的路程,利用路程除以速度即可求出點P運動的時間.
解答:解:(1)因為OB=BC,所以以點B為圓心,BC為半徑畫圓,與半圓交于點P,
所以點P為所求的點.如圖所示:(2分)

(2)連接OP,
∵AB=30,,∴OP=OB=15,OC=30,(3分)
∵CP與半圓O相切于點P,∴CO⊥OP,(5分)
∴cos∠POC==,∴∠POC=60°,(5分)
==5π,
所以點P運動時間=5π÷2π=2.5(s).
答:CP與半圓O相切時,點P運動的時間為2.5s.(7分)
點評:此題考查了尺規(guī)作圖,弧長公式及切線的性質(zhì).運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證,常通過作輔助線連接圓心和切點,利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,AB是半圓O的直徑,AC是弦,點P從點B開始沿BA邊向點A以1cm/s的速度移動,若AB長為10cm,點O到AC的距離為4cm.
(1)求弦AC的長;
(2)問經(jīng)過幾秒后,△APC是等腰三角形.

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精英家教網(wǎng)已知:如圖,AB是半圓O的直徑,OD是半徑,BM切半圓于點B,OC與弦AD平行交BM于點C.
(1)求證:CD是半圓O的切線;
(2)若AB的長為4,點D在半圓O上運動,當(dāng)AD的長為1時,求點A到直線CD的距離.

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精英家教網(wǎng)如圖,AB是半圓O的直徑,點D是半圓上一動點,AB=10,AC=8,當(dāng)△ACD是等腰三角形時,點D到AB的距離是
 

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如圖,AB是半圓O的直徑,以O(shè)A為直徑的半圓O′與弦AC交于點D,O′E∥AC,并交OC于點E,則下列結(jié)論:①S△O′OE=
1
2
S△AOC2;②點D時AC的中點;③
AC
=2AD;④四邊形O′DEO是菱形.其中正確的結(jié)論是( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,AB是半圓O的直徑,過點O作弦AD的垂線交半圓O于點E,F(xiàn)為垂足,交AC于點C使∠BED=∠C.請判斷直線AC與圓O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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