Question

如圖，△OAB是邊長為2+

3

的等邊三角形，其中O是坐標原點，頂點B在y軸正方向上，將△OAB折疊，使點A落在邊OB上，記為A′，折痕為EF．
（1）當A′E∥x軸時，求點A′和E的坐標；
（2）當A′E∥x軸，且拋物線y=-

1

6

x²+bx+c經(jīng)過點A′和E時，求拋物線與x軸的交點的坐標；
（3）當點A′在OB上運動，但不與點O、B重合時，能否使△A′EF成為直角三角形？若能，請求出此時點A′的坐標；若不能，請你說明理由．

Answer 1

分析：（1）當A′E∥x軸時，△A′EO是直角三角形，可根據(jù)∠A′OE的度數(shù)用O′A表示出OE和A′E，由于A′E=AE，且A′E+OE=OA=2+

3

，由此可求出OA′的長，也就能求出A′E的長．據(jù)此可求出A′和E的坐標；
（2）將A′，E點的坐標代入拋物線中，即可求出其解析式．進而可求出拋物線與x軸的交點坐標；
（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠FA′E=∠A，因此∠FA′E不可能為直角，因此要使△A′EF成為直角三角形只有兩種可能：
①∠A′EF=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠A′EF=∠AEF=90°，此時A′與O重合，與題意不符，因此此種情況不成立．
②∠A′FE=90°，同①，可得出此種情況也不成立．
因此A′不與O、B重合的情況下，△A′EF不可能成為直角三角形．

解答：解：（1）由已知可得∠A′OE=60°，A′E=AE，
由A′E∥x軸，得△OA′E是直角三角形，
設A′的坐標為（0，b），
AE=A′E=

3

b，OE=2b，

3

b+2b=2+

3

，
所以b=1，A′、E的坐標分別是（0，1）與（

3

，1）．

（2）因為A′、E在拋物線上，
所以

1=c 1=- 1 6 •( 3 )2+ 3 b+c

，
所以

c=1 b= 3 6

，
函數(shù)關系式為y=-

1

6

x²+

3

6

x+1，
由-

1

6

x²+

3

6

x+1=0，
得x₁=-

3

，x₂=2

3

，
與x軸的兩個交點坐標分別是（-

3

，0）與（2

3

，0）．

（3）不可能使△A′EF成為直角三角形．
∵∠FA′E=∠FAE=60°，
若△A′EF成為直角三角形，只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°
若∠A′EF=90°，利用對稱性，則∠AEF=90°，
A、E、A三點共線，O與A重合，與已知矛盾；
同理若∠A′FE=90°也不可能，
所以不能使△A′EF成為直角三角形．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識點，綜合性較強．