Question

（2006•株洲）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（-2，0），⊙O′與x軸相交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A，又B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，b），（1，0）．
（1）當(dāng)b=3時(shí)，求經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)的直線的解析式；
（2）當(dāng)B點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線BC與⊙O′有哪幾種位置關(guān)系？并求每種位置關(guān)系時(shí)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)的直線的解析式為y=kx+b．
把（0，3），（1，0）代入即可求出未知數(shù)的值，從而求出其解析式；
（2）點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線BC與⊙O'的位置關(guān)系有相離、相切、相交三種．
當(dāng)點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，恰好使直線BC切⊙O'于點(diǎn)M，連接O'M，則O'M⊥MC．
在Rt△CMO'中，由于CO'=3，O'M=2，故CM=，由Rt△CMO'∽R(shí)t△COE，可得=，即OE=．
由圓的對(duì)稱性可知，直線BC與⊙O'相離、相切、相交時(shí)b的值．
解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)的直線的解析式為y=kx+b．
把（0，3），（1，0）代入得，
解得．
故直線的解析式為y=-3x+3．

（2）點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線BC與⊙O'的位置關(guān)系有相離、相切、相交三種．
當(dāng)點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，恰好使直線BC切⊙O'于點(diǎn)M，連接O'M，則O'M⊥MC．
在Rt△CMO'中，CO'=3，O'M=2，
∴CM=．
由Rt△CMO'∽R(shí)t△COE，可得=．
∴OE=．
由圓的對(duì)稱性可知，當(dāng)b=±時(shí)，直線BC與圓相切；
當(dāng)b＞或b＜-時(shí)，直線BC與圓相離；
當(dāng)-＜b＜時(shí)，直線BC與圓相交．
點(diǎn)評(píng)：本題很復(fù)雜，涉及到用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，及直線與圓的位置關(guān)系，是中學(xué)階段的重點(diǎn)與難點(diǎn)．