如圖,在邊長為2的等邊△ABC中,AD⊥BC,點P為邊AB 上一個動點,過P點作PF//AC交線段BD于點F,作PG⊥AB交AD于點E,交線段CD于點G,設BP=x.
(1)①填空:如果BP=,則BG= ;
②用x的代數式表示線段DG的長,并直接寫出自變量x的取值范圍;
(2)記△DEF的面積為S,求S與x之間的函數關系式。
(3)當以P、E、F為頂點的三角形與△EDG相似時,請求出BP的長。
(1)BG=;DG=2x-1、
(2)S=
(3)
【解析】
試題分析:(1)①在邊長為2的等邊△ABC中,所以;作PG⊥AB交AD于點E,交線段CD于點G,
,在三角形BPG中,由三角形內角和定理知
,因為BP=
,所以BG=
②∵PF//AC,∴△PBF為等邊三角形,∴BF=PF=PB=x.
又∵BG=2x,BD=1,∴DG=2x-1,∴0<2x-1≤1,∴.
(2)S=DE×DF=
=
(3)①如圖1,若∠PFE=∠EDG=90,∵∠EGD =∠FPE ∴
∽△EDG,∴∠EFD=∠EGD=30
∴EF=EG
∵AD⊥BC ∴DF=DG 即解得:
.
②如圖2,若∠PEF=∠EDG=90時,∵∠EGD =∠FPE ∴
∽△DEG
∵∠FED=30
∴DF=EF=
BP,
即.解得:
考點:直角三角形,等邊三角形,相似三角形
點評:本題考查直角三角形,等邊三角形,相似三角形,解答本題需要掌握直角三角形,等邊三角形的性質,熟悉相似三角形的證明方法,會證明兩個三角形相似
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