Question

【題目】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是直徑，點(diǎn)D是AC延長線上一點(diǎn)，且∠DBC＝∠BAC，．

（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）求的值；（3）如圖，直徑AC=5，，求△ABF面積．

Answer 1

【答案】（1）證明略；（2）；（3）△ABF的面積為.

【解析】

（1）連接OB．欲證明BD是切線，只要證明DB⊥OB即可；

（2）由△DBC∽△DAB，推出，在Rt△ABC中，由，推出，設(shè)CD＝a，則BD＝2a，AD＝4a，AC＝3a，由此即可解決問題；

（3）作AH⊥BF，連接OF，先根據(jù)及勾股定理求出AB=2，然后由三角函數(shù)求出BH=AH，再根據(jù)同角三角函數(shù)可求出HF=，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可.

解：（1）如圖，連接OB．

∵AC是直徑，

∴∠ABC＝90°，

∵OB＝OA＝OC，

∴∠BAC＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，

∵∠BAC＝∠DBC，∠BAC＋∠BCA＝90°，

∴∠DBC＋∠OBC＝90°，

∴∠OBD＝90°，即OB⊥BD，

∴BD是⊙O的切線．

（2）∵∠D＝∠D，∠DBC＝∠BAC，

∴△DBC∽△DAB，

∴，

在Rt△ABC中，∵，

∴，

設(shè)CD＝a，則BD＝2a，AD＝4a，AC＝3a，

∴．

（3）如圖，作AH⊥BF，連接OF，

∵，

∴AB=2BC

∴，即，

解得：BC=（負(fù)值已舍去），

∴AB=2，

∵，AC是直徑，

∴∠FOA=90°，

∴∠FBA=45°，

∴BH=AH=AB·cos45°=2·，

又∵∠BCA=∠BFA，

∴∠BAC=∠HAF，

∴，

∴HF=，

∴.