Question

（2011內(nèi)蒙古赤峰，24，12分）如圖，直線y=x+3與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，連結(jié)CB并延長交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸MN對稱。
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求證：四邊形ABCD是直角梯形。

Answer 1

解：（1）∵直線y=x+3與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)。
當(dāng)y=0時(shí)，x=－3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－3，0）
當(dāng)x =0時(shí)，y= 3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）
把A（－3，0）、B（0，3）代入中得：

∴拋物線的解析式為
∵
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，4）。
（2）證明：
方法（一）∵A（－3，0）、B（0，3）、C（-1，4）;
∴OA=OB=3，AN=2，CN=4，CM=MB=1.
在Rt△AOB中，；
在Rt△ANC中，；
在Rt△CMB中，；
∴，∴∠ABC=90°
∵點(diǎn)D、B關(guān)于對稱軸CN對稱，∠BCM=45°；
∴∠DCM=45°，則∠DCB=90°；
∴DC∥AB ；
∵AD≠CB ；
∴四邊形ABCD是直角梯形
方法（二）：設(shè)直線BC的解析式為y=mx+3；
把C（-1，4）代入，得m=－1；
∴直線BC的解析式為y=－x+3；
當(dāng)y=0時(shí)，x=3，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），即OE="3" ；
∵A（－3，0）、B（0，3）；
∴OA="OB=OE=3" 。
∵∠BOA="∠BOE" =90°
∴∠BAO="∠ABO=∠OEB" =∠OBE=45°；
∴∠ABE=90°；
∴∠ABC=90°；
∵點(diǎn)D、B關(guān)于對稱軸CN對稱，∠BCM=45°；
∴∠DCM=45°，則∠DCB=90°；
∴DC∥AB ；
∵AD≠CB ；
∴四邊形ABCD是直角梯形解析:
略