Question

如圖1，已知點A（0，4）x軸正半軸上，且∠ABO=30°，動點P在線段AB上從點A向點B以每秒個單位的速度運動，設運動時間為t秒，在x軸上取兩點M、N作等邊△PMN．

（1）求直線AB的解析式；
（2）求等邊△PMN的邊長（用t的代數(shù)式表示），并求出當頂點M運動到與原點O重合時t的值；
（3）如圖2，如果取OB的中點D，以OD為邊在Rt△AOB內(nèi)部作矩形ODCE，點C在線段AB上，從點P開始運動到點M與原點O重合這一過程中，設等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S，請求出S與t的函數(shù)關(guān)系式和相應的自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知點A的坐標知道OA的長度，在直角三角形中根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB，根據(jù)勾股定理求出OB，從而求出B的坐標，最后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式．
（2）由（1）已經(jīng)求出AB的長，可以表示出BP的長，題目也告訴了∠ABO的度數(shù)，利用三角函數(shù)值就可以表示出MP長度，當M到達O點利用30°的直角三角形的特殊關(guān)系求出OP，利用勾股定理就可以求出AP，從而求出時間t．
（3）當點M與原點O重合時，點N與點D也是重合的，這時以PM是否過點E為分點分別計算重合部分的面積．將重合部分的面積用含t的式子表示出來就可以了．
解答：解：（1）∵A（0，4）
∴OA=4，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，
∴tan∠ABO=，即tan30°==，
∴BO=12，
∴B（12，0）
設直線AB的解析式為：y=kx+b，由題意得：
，
解得：，
故直線AB的解析式為：y=-x+4；

（2）∵△PMN為等邊三角形，
∴∠PMO=60°，
∵∠ABO=30°，
∴∠PMO+∠ABO=90°，
∴∠MPB=90°，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴AB=2AO=8，
∴BP=AB-AP=8-t，
在Rt△MPB中，∠MPB=90°，tan∠ABO=，
即tan30°==，
∴MP=8-t，
當M與O重合時，在Rt△PBO中，∠ABO=30°，∠BPO=90°，
∴MP=OB=6，即8-t=6，
∴t=2；

（3）M與O點重合時PM=MN=6，此時N點與D點重合，如圖2，
當PM過點E時，∠PMB=60°，∠MBA=30°，
∴∠MBA=∠ACE=30°，
∴∠EAP=60°，
∴∠AEP=30°，
∴AP=AE=，
此時t=1；
當0≤t≤1時，設PN交EC于F，過F作FG⊥OB于G，F(xiàn)G=OE=2，
∵∠PNM=60°，
∴GN==2，
∵PM=8-t，
∴BM=2PM=16-2t，
∴MO=BM-BO=4-2t，ON=MN-MO=t+4，EF=OG=ON-GN=t+2，
∴S=×2×（t+2+t+4）
=2t+6，
當0＜t≤2時，設PM、PN交EC于H、F，S=S_梯形EONF-S_△EHI．
由（2）知：MO=4-2t，IO=MO=4-2t，
∴EI=EO-IO=2t-2，EH=EI=2t-2，
∴S_△EHI=×（2t-2）×（2t-2）=2t²-4t+2，
∴S=2t+6-2t²+4t-2=-2t²+6t+4．
點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合試題，考查了運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，勾股定理的運用，三角函數(shù)的運用以及圖形的面積公式，數(shù)學中的動點問題．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應用．