(2013•寶安區(qū)二模)已知:如圖1,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、A、B三點(diǎn),四邊形OABC是直角梯形,其中點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,BC∥OA,A(12,0)、B(4,8).
(1)求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若D為OA的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位,移動(dòng)時(shí)間記為t秒.幾秒鐘后線段PD將梯形OABC的面積分成1﹕3兩部分?并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖2,作△OBC的外接圓O′,點(diǎn)Q是拋物線上點(diǎn)A、B之間的動(dòng)點(diǎn),連接OQ交⊙O′于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N.當(dāng)∠BOQ=45°時(shí),求線段MN的長(zhǎng).
分析:(1)根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn),設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx(a≠0),然后把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入求出a、b的值,即可得解;
(2)先求出梯形OABC的面積為64和AB的長(zhǎng),再求出兩個(gè)部分的面積分別為16和48,然后分△ADP的面積是16時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出PE的長(zhǎng),再根據(jù)三角形的面積列式計(jì)算即可得解;△PDO的面積是16時(shí),求出OP的長(zhǎng),再列式求解即可;
(3)先利用勾股定理列式求出OB,再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得△AOB和△ONB相似,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出ON的長(zhǎng),連接BM,判斷出△OBM是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OM,再根據(jù)MN=ON-OM計(jì)算即可得解.
解答:解:(1)∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(12,0)、B(4,8)和原點(diǎn)O,
∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx(a≠0),
144a+12b=0
16a+4b=8
,
解得
a=-
1
4
b=3
,
∴拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-
1
4
x2+3x;

(2)∵A(12,0),B(4,8),BC∥OA,
∴OA=12,BC=4,OC=8,∠OAB=45°,
∴梯形OABC的面積=
1
2
×(4+12)×8=64,
∵AD是OA的中點(diǎn),
∴OD=AD=
1
2
OA=
1
2
×12=6,
∵線段PD將梯形OABC的面積分成1:3兩部分,
∴分成兩部分的面積分別為64×
1
1+3
=16,
64×
3
1+3
=48,
如圖1,△ADP的面積是16時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于E,
∵AP=t,
∴PE=
2
2
t,
1
2
×6×
2
2
t=16,
解得t=
16
2
3
,
∴PE=
16
2
3
×
2
2
=
16
3
,
OE=12-
16
2
3
×
2
2
=
20
3
,
∴點(diǎn)P(
20
3
,
16
3
),
△PDO的面積是16時(shí),
1
2
×6•OP=16,
解得OP=
16
3

∵AB=
82+(12-4)2
=8
2
,
∴t=(AB+BC+OC-OP)÷1=8
2
+4+8-
16
3
=8
2
+
20
3

此時(shí),點(diǎn)P(0,
16
3
),
綜上所述,
16
2
3
秒或8
2
+
20
3
秒鐘后線段PD將梯形OABC的面積分成1:3兩部分,
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(
20
3
,
16
3
)或(0,
16
3
);

(3)在Rt△OBC中,由勾股定理得,OB=
OC2+BC2
=
82+42
=4
5

∵∠OAB=45°,∠BOQ=45°,
∴∠OAB=∠BOQ,
又∵∠ABO=∠OBN,
∴△AOB∽△ONB,
ON
AO
=
OB
AB

ON
12
=
4
5
8
2
,
解得ON=3
10

如圖2,連接BM,∵∠BOQ=45°,OB是⊙O′的直徑,
∴△OBM是等腰直角三角形,
∴OM=
2
2
OB=
2
2
×4
5
=2
10
,
∴MN=ON-OM=3
10
-2
10
=
10
點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)綜合題型,主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,三角形的面積,相似三角形的判定與性質(zhì),(2)難點(diǎn)在于要根據(jù)點(diǎn)P的位置分情況討論,(3)判斷出兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵.
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1
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1
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