Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A₁B₁C，設(shè)A₁B₁與BC相交于點(diǎn)D．
（1）如圖1，當(dāng)AB∥CB₁時，說明△A₁CD是等邊三角形；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A₁正好在邊AB上時，判別A₁B₁與BC的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵AB∥CB₁，
∴∠BCB₁=∠B=∠B₁=30°，
∴∠A₁DC=∠BCB₁+∠B₁=60°，
又∵∠A=∠CA₁D=60°，
∴∠A₁CD=180°-60°-60°=60°，
∴∠A₁CD=∠CA₁D=∠A₁CD=60°，
∴△A₁CD是等邊三角形；

（2）解：A₁B₁與BC的位置關(guān)系是A₁B₁⊥BC，
理由是：∵A₁C=AC，∠A=60°，
∴△ACA₁是等邊三角形，
∴∠ACA₁=60°，
∴A₁CD=90°-60°=30°，
∵∠CA₁D=∠A=60°，
∴∠A₁DC=180°-30°-60°=90°，
即A₁B₁與BC的位置關(guān)系是A₁B₁⊥BC．
分析：（1）根據(jù)平行線性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出BCB₁=∠B=∠B₁=30°，求出∠A₁DC=60°=∠CA₁D=60°，求出∠A₁CD=∠CA₁D=∠A₁CD=60°，根據(jù)等邊三角形的判定推出即可；
（2）求出△A₁CA是等邊三角形，推出∠A₁CA=∠CA₁D=60°，求出∠A₁CD的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠A₁DC=90°，根據(jù)垂直定義推出即可．
點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，垂直定義，三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，注意：旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，有三個角相等的三角形是等邊三角形，等邊三角形的每個角都等于60度．