Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交A、B兩點（A點在B點左側(cè)），與y軸交于點D．
（1）求點A、B、D的坐標；
（2）若點C在該拋物線上，使△ABD≌△BAC．求點C的坐標，及直線AC的函數(shù)表達式；
（3）P是（2）中線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐標，令x=0，可求得點D的坐標．
（2）若△ABD≌△BAC，則C、D必關(guān)于拋物線的對稱軸對此，由此可得C點的坐標；進而可利用待定系數(shù)法求得直線AC的函數(shù)解析式．
（3）設(shè)出點P的橫坐標，根據(jù)直線AC和拋物線的解析式，即可表示出P、E的縱坐標，從而得到關(guān)于PE的長和P點橫坐標的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可得到PE的最大長度及對應(yīng)的P點坐標．
解答：解：（1）令y=0，
解得x₁=-1或x₂=3，（1分）
∴A的坐標為：A（-1，0），B的坐標為：B（3，0），（2分）
令x=0，解得y=-3；
∴D的坐標為：D（0，-3）．（3分）

（2）根據(jù)拋物線的對稱性可得C的坐標為：（2，-3），（5分）
設(shè)AC的解析式為：y=kx+b，
將A（-1，0），C（2，-3）代入可求得k=-1，b=-1；
∴直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1．（8分）

（3）設(shè)P點的橫坐標為x（-1≤x≤2），（注：x的范圍不寫不扣分）
則P、E的坐標分別為：P（x，-x-1），（9分）
E（x，x²-2x-3）；（10分）
∵P點在E點的上方，PE=-x-1-（x²-2x-3）=-x²+x+2=-（x-）²+；（12分）
∴當x=時，PE的最大值=．（14分）
點評：此題主要考查了二次函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標的求法、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法以及二次函數(shù)最值的應(yīng)用等知識，難度適中．