Question

（2012•湖里區(qū)一模）如圖，反比例函數(shù)y=

k

x

（k為常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過點A（-1，4），過點A作直線AC與函數(shù)y=

k

x

的圖象交于另一點B，與x軸交于點C．
（1）若點B的縱坐標為2，求點B到y(tǒng)軸的距離；
（2）若AB=3BC．求直線AB的解析式．

Answer 1

分析：（1）由A在反比例函數(shù)圖象上，將A的坐標代入反比例解析式中求出k的值，確定出反比例解析式，又B在反比例函數(shù)圖象上且B縱坐標為2，將y=2代入反比例解析式中求出x的值，即可得到B到y(tǒng)軸的距離；
（2）過A作AD垂直于x軸，過B作BE垂直于x軸，可得出一對直角相等，再公共角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△BCE與△ACD相似，由相似得比例，再由AB=3BC，得出三角形的相似比，由A的坐標確定出AD的長，根據(jù)相似比求出BE的長，即為B的縱坐標，將求出的縱坐標代入反比例解析式中求出B的橫坐標，確定出B的坐標，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將A和B的坐標代入，得到關(guān)于k與b的二元一次方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可確定出直線AB的解析式．

解答：解：（1）將A（-1，4）代入反比例解析式得：4=

k

-1

，即k=-4，
∴反比例解析式為y=-

4

x

，
∵B在反比例函數(shù)圖象上，且B縱坐標為2，
∴將y=2代入反比例函數(shù)解析式得：2=-

4

x

，解得x=-2，
∴B（-2，2），
則B到y(tǒng)軸的距離為2；

（2）過A作AD⊥x軸，過B作BE⊥x軸，分別交x軸于D、E，如右圖所示，
∴∠ADC=∠BEC=90°，又∠ACD=∠BCE，
∴△BCE∽△ACD，
∴

CB

CA

=

BE

AD

，
又AB=3BC，A（-1，4），
∴

CB

AB

=

1

4

，且AD=4，
∴

BE

4

=

1

4

，即BE=1，
將y=1代入反比例函數(shù)解析式得：1=-

4

x

，解得x=-4，
∴B（-4，1），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b（k≠0），
將A（-1，4）和B（-4，1）代入得：

4=-k+b 1=-4k+b

，
解得：

k=1 b=5

，
則直線AB解析式為y=x+5．

點評：此題考查了反比例與一次函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及坐標與圖形性質(zhì)，是一道綜合性較強的試題．