Question

開口向下的拋物線y=a（x+1）（x-4）與x軸的交點(diǎn)為A、B（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．連接AC、BC．
（1）若△ABC是直角三角形（圖1），求二次函數(shù)的解析式；
（2）在（1）的條件下，將拋物線沿y軸的負(fù)半軸向下平移k（k＞0）個(gè)單位，使平移后的拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，求k的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，4）時(shí)（圖2），P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿折線C?O?B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，點(diǎn)Q沿拋物線（在第一象限的部分）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，若P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相同，請問誰先到達(dá)點(diǎn)B？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：

13

=3.6，

29

=5.4）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知的拋物線解析式，可求得A、B的坐標(biāo)，在Rt△ABC中，OC⊥AB，利用射影定理的得到OC²=OA•OB（或由相似三角形證得），即可得到OC的長，從而確定C點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中，即可確定a的值，從而求出該拋物線的解析式；
（2）根據(jù)（1）所得拋物線的解析式，可求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，由于函數(shù)圖象的平移方法已經(jīng)確定，即沿y軸負(fù)半軸向下平移，若拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，則有兩種情況：
①C、O重合，此時(shí)拋物線向下平移了OC長個(gè)單位，
②拋物線的頂點(diǎn)落在x軸上，此時(shí)拋物線向下平移的單位長度與（1）的拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，
綜合上述兩種情況，即可求得k的值；
（3）當(dāng)C（0，4）時(shí)，可根據(jù)其坐標(biāo)確定此時(shí)拋物線的解析式，進(jìn)而求得其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；P點(diǎn)的移動(dòng)距離易求得（即OC+OB），而Q點(diǎn)的軌跡是一條曲線，無法直接求得，因此需要化曲為直，間接的和P點(diǎn)的移動(dòng)距離進(jìn)行比較；連接CD、BD，根據(jù)B、C、D三點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得CD、BD的長，從而確定BD+CD同OC+OB的大小關(guān)系，顯然Q點(diǎn)移動(dòng)距離要大于CD+BD，這樣就判斷出P、Q兩點(diǎn)的路程誰大誰小，由于兩點(diǎn)的速度相同，那么路程短的就先到達(dá)B點(diǎn)．

解答：解：拋物線y=a（x+1）（x-4）與x軸的交點(diǎn)為A（-1，0）、B（4，0）．
（1）若△ABC是直角三角形，只有∠ACB=90°．
由題易得△ACO∽△COB，
∴

AO

CO

=

CO

BO

，
∴

1

CO

=

CO

4

，
∴CO=2
∵拋物線開口向下，
∴C（0，2）
把C（0，2）代入得：
（0+1）（0-4）a=2，a=-

1

2

∴y=-

1

2

(x+1)(x-4)；

（2）由y=-

1

2

(x+1)(x-4)可得：
拋物線的頂點(diǎn)為（

3

2

，

25

8

），點(diǎn)C（0，2），
當(dāng)點(diǎn)C向下平移到原點(diǎn)時(shí)，
平移后的拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴k=2
當(dāng)頂點(diǎn)向下平移到x軸時(shí)，
平移后的拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴k=

25

8

；

（3）當(dāng)點(diǎn)C為（0，4）時(shí)，拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-4），
拋物線的頂點(diǎn)為D（

3

2

，

25

4

）
連接DC、DB
∵D（

3

2

，

25

4

），B（4，0），C（0，4），
∴CD=

( 3 2 )2+( 25 4 -4)2

=

3

4

13

=2.7，
DB=

(4- 3 2 )2+( 25 4 )2

=

5

4

29

=6.75；
∴CD+DB=2.7+6.75=9.45
∵CO+OB=4+4=8，
∴DB+DC＞CO+OB
由函數(shù)圖象可知第一象限內(nèi)的拋物線的長度比CD+DB還要長
所以第一象限內(nèi)的拋物線的長度要大于折線C→O→B的長度
所以點(diǎn)P先到達(dá)點(diǎn)B．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移、坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式等重要知識；（3）題中，由于Q點(diǎn)的移動(dòng)軌跡是條曲線，在求其移動(dòng)距離時(shí)，能夠通過輔助線來化曲為直，間接的得出P、Q的路程大小是解決問題的關(guān)鍵．