Question

如圖，已知在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，CD⊥BD．
（1）求證：△AOD∽△BOC；
（2）若sin∠ABO=

2

3

，S_△AOD=4，求S_△BOC的值．

Answer 1

分析：（1）由AB⊥AC，CD⊥BD，可得∠BAC=∠BDC=90°，又由對(duì)頂角相等，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，易得△AOB∽△DOC，即可得到比例線段，再由∠AOD=∠BOC，即可證得△AOD∽△BOC；
（2）由sin∠ABO=

2

3

，可得

AO

BO

=

2

3

，又由相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求得S_△BOC的值．

解答：（1）證明：∵AB⊥AC，CD⊥BD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
又∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴

AO

DO

=

BO

CO

，
∴

AO

BO

=

DO

CO

，
又∵∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△BOC；

（2）∵∠BAC=90°，sin∠ABO=

2

3

，
∴

AO

BO

=

2

3

，
∵△AOD∽△BOC，
∴

S△AOD

S△BOC

=(

AO

BO

)2，
∵S_△AOD=4，
∴

4

S△BOC

=(

2

3

)2，
∴S_△BOC=9．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的定義．解題時(shí)要注意相似三角形的面積比等于相似比的平方，有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似與有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似的性質(zhì)的應(yīng)用．