Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2﹣4ax+1與x軸的正半軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OB=3OC，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，連接BC，△PBC是以BC為斜邊的等腰直角三角形．

（1）求這個(gè)拋物線的表達(dá)式；

（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)Q在x軸上，若以Q、O、P為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)C、A、B為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（2，2）；（3）（﹣4，0）或（﹣2，0）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出△PMC≌△PNB，再用PC2=PB2，建立方程求解即可；

（3）先判斷出點(diǎn)Q只能在點(diǎn)O左側(cè)，再分兩種情況討論計(jì)算即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2﹣4ax+1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）．

∵OB=3OC，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），∴9a﹣12a+1=0，∴a=，∴．

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸，PN⊥x軸，垂足分別為點(diǎn)M、N．

∵∠MPC=90°﹣∠CPN，∠NPB=90°﹣∠CPN，∴∠MPC=∠NPB．

在△PCM和△PBN中，∵∠PMC=∠PNB，∠MPC=∠NPB，PC=PB，∴△PMC≌△PNB，∴PM=PN．

設(shè)點(diǎn)P（a，a）．

∵PC2=PB2，∴a2+（a﹣1）2=（a﹣3）2+a2．

解得a=2，∴P（2，2）．

（3）∵該拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=2，B（3，0），∴A（1，0）．

∵P（2，2），A（1，0），B（3，0），C（0，1），∴PO=，AC=，AB=2．

∵∠CAB=135°，∠POB=45°，在Rt△BOC中，tan∠OBC=，∴∠OBC≠45°，∠OCB＜90°，在Rt△OAC中，OC=OA，∴∠OCA=45°，∴∠ACB＜45°，∴當(dāng)△OPQ與△ABC相似時(shí)，點(diǎn)Q只有在點(diǎn)O左側(cè)時(shí)．

（i）當(dāng)時(shí)，∴，∴OQ=4，∴Q（﹣4，0）．

（ii）當(dāng)時(shí)，∴，∴OQ=2，∴Q（﹣2，0）．

當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣4，0）或（﹣2，0）．