Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB為半徑作⊙C，交AC于點(diǎn)D，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接ED，BE．(1)求證：△ABD∽△AEB；(2)當(dāng)時(shí)，求tanE；

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2) .

【解析】（1）要證明△ABD∽△AEB，已經(jīng)有一組對(duì)應(yīng)角是公共角，只需要再找出另一組對(duì)應(yīng)角相等即可．

（2）由于AB：BC=4：3，可設(shè)AB=4，BC=3，求出AC的值，再利用（1）中結(jié)論可得AB2=ADAE，進(jìn)而求出AE的值，所以tanE=．

解：（1）∵∠ABC=90°，

∴∠ABD=90°﹣∠DBC，

由題意知：DE是直徑，

∴∠DBE=90°，

∴∠E=90°﹣∠BDE，

∵BC=CD，

∴∠DBC=∠BDE，

∴∠ABD=∠E，

∵∠A=∠A，

∴△ABD∽△AEB；

（2）∵AB：BC=4：3，

∴設(shè)AB=4，BC=3，

∴AC==5，

∵BC=CD=3，

∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2，

由（1）可知：△ABD∽△AEB，

∴，

∴AB2=ADAE，

∴42=2AE，

∴AE=8，

在Rt△DBE中

tanE=．

“點(diǎn)睛“此題屬于圓的綜合題，涉及了相似三角形判定與性質(zhì)、三角函數(shù)值的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái).