Question

如圖15，在△ABC和△PQD中，AC =" k" BC，DP =" k" DQ，∠C =∠PDQ，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線BC上，連結(jié)EQ交PC于點(diǎn)H．猜想線段EH與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

結(jié)論：EH=AC．
證明：取BC邊中點(diǎn)F，連接DE、DF．
∵D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn)．
∴DE∥BC且DE=BC，
DF∥AC且DF=AC，
EC=AC ∴四邊形DFCE是平行四邊形．
∴∠EDF=∠C． 
∵∠C=∠PDQ，∴∠PDQ ="∠EDF" ， ∴∠PDF=∠QDE．
又∵AC=kBC，∴DF=kDE．
∵DP="kDQ" ，∴．
∴△PDF∽△QDE．
∴∠DEQ=∠DFP．
又∵DE∥BC，DF∥AC， ∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C．
∴∠C =∠EHC．
∴EH=EC．
∴EH=AC．
選圖16．結(jié)論：EH=AC．
證明：取BC邊中點(diǎn)F，連接DE、DF．
∵D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC且DE=BC， DF∥AC且DF=AC，
EC=AC ，∴四邊形DFCE是平行四邊形．
∴∠EDF=∠C．
∵∠C=∠PDQ，∴∠PDQ="∠EDF" ， ∴∠PDF=∠QDE．
又∵AC=BC， ∴DE=DF，∵PD=QD，∴△PDF≌△QDE．
∴∠DEQ=∠DFP．
∵DE∥BC，DF∥AC， ∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C．
∴∠C =∠EHC
∴EH=EC．
∴EH=AC．
選圖17． 結(jié)論： EH=AC．
證明：連接AH．
∵D是AB中點(diǎn)，∴DA=DB．
又∵DB=DQ，∴DQ=DP=AD．∴∠DBQ=∠DQB，．
∵∠DBQ+∠DQB+∠DQA+∠DAQ，=180°，∴∠AQB=90°，
∴AH⊥BC．
又∵E是AC中點(diǎn)，∴HE=AC．

1）取BC中點(diǎn)F，連接DE，DF．利用三角形中位線性質(zhì)可知四邊形DFCE是平行四邊形，由已知中角的相等，利用等量相加和相等，可得∠PDF=∠QDE，DF∥AC，可得，，即DF=kDE（DE=BF=BC），可證出△PDF∽△QDE．就有∠DFB=∠DEQ，又DE，BC平行可得∠DEQ=∠EHC，那么等量代換就有∠EHC=∠DFB=∠C，因此得證．
（2）和（1）的證法相同．
（3）連接AH，利用已知條件可證出∠ABC=∠BAC，且∠DBQ=∠DQB，那么DB=DQ．能判定△ABQ是直角三角形，同樣，△AQC也是直角三角形，HE是斜邊上的高，所以就有EH=AC．