Question

已知：直角梯形中，∥，∠=，以為直徑的圓交于點(diǎn)、，連結(jié)、、.

（1）在不添加其他字母和線的前提下，直接寫(xiě)出圖1中的兩對(duì)相似三角形：

_____________________，______________________ ；

（2）直角梯形中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸正半軸上建立直角坐標(biāo)系（如圖2），若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、，且為拋物線的頂點(diǎn).

①寫(xiě)出頂點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）___________；

②求拋物線的解析式；

③在軸下方的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與△相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB；（2）①（1，）；②y=-x²+2x+3；③（-2，-5）

【解析】

試題分析：（1）由圓周角定理知：∠ADB=90°，首先可聯(lián)想到的相似三角形是△BCD和△DOA；易知∠BAD=∠BED，可得的另一對(duì)相似三角形是Rt△ABD和Rt△EBC；

（2）①用公式法或配方法均能求出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②根據(jù)拋物線的解析式，易求得B、D、A的坐標(biāo)，也就得到了OA、OD、CD、BC的長(zhǎng)，根據(jù)（1）得出的相似三角形，即可根據(jù)對(duì)應(yīng)的成比例線段求出a的值，也就能求出拋物線的解析式；

③由②易知△OAD是等腰Rt△，若△PAN與△OAD相似，則△PAN也必須是等腰Rt△；可根據(jù)拋物線的解析式設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)PN=AN的條件來(lái)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．（注意P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍）.

（1）△∽△，△∽△；

（2）①（1，）

②∵△OAD∽△CDB

∵ax²-2ax-3a=0，可得A（3，0）

又∵OC=-4a，OD=-3a，CD=-a，CB=1，

∴a²=1，

∵a＜0，

∴a=-1；

故拋物線的解析式為；

③存在，

設(shè)P（x，-x²+2x+3）

∵△PAN與△OAD相似，且△OAD為等腰三角形

∴PN=AN

當(dāng)x＜0（x＜-1）時(shí)，-x+3=-（-x²+2x+3），x₁=-2，x₂=3（舍去），

∴P（-2，-5）

當(dāng)x＞0（x＞3）時(shí)，x-3=-（-x²+2x+3），x₁=0，x₂=3；（都不合題意舍去）

符合條件的點(diǎn)P為（-2，-5）．

考點(diǎn)：圓的綜合題

點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題難度較大，在中考中比較常見(jiàn)，一般在壓軸題中出現(xiàn)，需特別注意.