已知:AD是Rt△ABC的斜邊BC上的高,∠B的平分線BE與AD相交于點F,G是AC邊上滿足CG=AF的一點(如圖),求證:FG∥BC.

證明:在BC邊上取一點A′,使BA′=BA,連接A′F…
在△A′BF與△ABF中,∵BA′=BA,BF=BF,∠A′BF=∠ABF,
,
∴△A′BF≌△ABF(SAS)
∴A′F=AF=CG ①…
∠BA′F=∠BAF=90°-∠CAD=∠C
∴∠BA′F=∠C,
因此FA′∥GC ②…
于是,由①和②知,四邊形FA′CG為平行四邊形,
故FG∥A′C,
即FG∥BC…

另證:過F作FA′∥AC交BC邊于A′點,則∠BA′F=∠C…
∵∠BAC=90°,且AD⊥BC,∴∠BAF=90°-∠CAD=∠C…
∴∠BA′F=∠BAF又在△A′BF與△ABF中,
∵∠A′BF=∠ABF,BF=BF,
∴△A′BF≌△ABF∴A′F=AF=CG…
而FA′∥AC,即FA′∥GC,
∴四邊形FA′CG為平行四邊形
故FG∥A′C,
即FG∥BC…
分析:先證△A′BF≌△ABF,再證明四邊形FA′CG為平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得解.
點評:本題考查全等三角形的判定和性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),熟記這些性質(zhì)定理求解.
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精英家教網(wǎng)如圖,已知:AD是Rt△ABC斜邊BC上的高線,DE是Rt△ADC斜邊AC上的高線,如果DC:AD=1:2,S△ADE=a,那么S△ABC等于( 。
A、4a
B、9a
C、16a
D、
25
4
a

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(1998•金華)如圖,已知:AD是Rt△ABC斜邊BC上的高線,DE是Rt△ADC斜邊AC上的高線,如果DC:AD=1:2,S△ADE=a,那么S△ABC等于( )

A.4a
B.9a
C.16a
D.a

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