Question

如圖，四邊形ABCD中，AB=5cm，CB=3cm．∠DAB=∠ACB=90°．AD=CD，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于E點．
（1）求CD的長度；
（2）已知一動點P以2cm/s的速度從點D出發(fā)沿射線DE運動，設點P運動的時間為ts，問當t為何值時，△CDP與△ABC相似．

Answer 1

分析：（1）首先利用勾股定理求出AC的長，再根據(jù)已知可得到∠BAC=∠ADF和∠DFA=∠ACB，從而利用有兩對角對應相等的兩三角形相似，得到△DFA∽△ACB，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例及AD=CD即可求出AD的長；
（2）因為∠CDP=∠CAB，所以要使△CDP與△ABC相似，則應有∠DPC或∠DCP=90°，再分別就∠DCP=90°和∠DPC=90°分別討論求出符合題意的t值即可．

解答：解：（1）∵AB=5cm，CB=3cm，∠ACB=90°，
∴AC=

AB2-BC2

=4cm，
∵AD=CD，DE⊥AC，
∴AF=FC，∠CDF=∠ADF，
∵∠DAC+∠BAC=∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠DAC=∠ABC，
∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴△DFA∽△ACB，
∴

AD

AB

=

AF

AC

，
∴

AD

5

=

2

3

，
∴CD=AD=

10

3

cm；

（2）∵∠CDP=∠CAB，
∴所以要使△CDP與△ABC相似，則應有∠DPC或∠DCP=90°，
①當∠DPC=90°時，點P于點F重合，
∴t=

DF

2

=

4

3

（s），
②當∠DCP=90°時，點P于點E重合，
∴t=

DE

2

，
∵F是AC的中點，EF∥BC，
∴AE=EB=

5

2

，EF=

3

2

，
∵DE=DF+EF，
∴DE=

25

6

，
∴t=

DE

2

=

25

2

（s），
綜上可知：當t為

4

3

s或

25

12

s時△CDP與△ABC相似．

點評：本題考查了勾股定理的運用、相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理的運用，題目的難點在于分類討論的數(shù)學思想的運用．