試證:每個(gè)大于6的自然數(shù)n,都可以表示為兩個(gè)大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和.
證明:直觀上可以這樣看,當(dāng)n>6時(shí),在2,3,…,n-2中,必有一個(gè)數(shù)A與n互質(zhì)(2≤A≤n-2),
記B=n-A≥2,有n=A+B,
此時(shí),A與B必互質(zhì),否則A與B有公約數(shù)d>1,則d也是n的約數(shù),從而A與n有大于1的公約數(shù),與A、n互質(zhì)矛盾.
(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),
n=2+(n-2),或n=
n-1
2
+
n+1
2

(2)當(dāng)n為偶數(shù),但不是4的倍數(shù)時(shí),n=
n-4
2
+
n+4
2
,
由n>6知
n-4
2
>1,且
n+4
2
、
n-4
2
均為奇數(shù),
n-4
2
,
n+4
2
)=(
n-4
2
,4)=1.
(3)當(dāng)n為偶數(shù),且又是4的倍數(shù)時(shí),有n=
n-2
2
+
n+2
2
,
由n>6知
n-2
2
>1,且
n-2
2
、
n+2
2
均為奇數(shù),
n-2
2
,
n+2
2
)=(
n-2
2
,2)=1.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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試證:每個(gè)大于6的自然數(shù)n,都可以表示為兩個(gè)大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和.

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已知N=
11…1
2006個(gè)
22…2
2006個(gè)
,試將N表示為4個(gè)大于1的自然數(shù)之積.

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試證:每個(gè)大于6的自然數(shù)n,都可以表示為兩個(gè)大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和.

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