Question

【題目】在等邊三角形ABC中,點E在AB上,點D在CB的延長線上,且AE=BD,

（1）當點E為AB的中點時,如圖1,求證:EC=ED;

（2）當點E不是AB的中點時,如圖2,過點E作EF//BC,求證:△AEF是等邊三角形;

（3）在第(2)小題的條件下,EC與ED還相等嗎,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3），見解析.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形三線合一的性質可得∠ECB=30°，∠ABC=60°，根據(jù)AE=EB=BD，可得∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ACB=30°，根據(jù)等角對等邊即可證得結論；

（2）根據(jù)平行線的性質證得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，即可證得結論；

（3）先求得BE=FC，然后證得△DBE≌△EFC即可.

（1）如圖1，在等邊△ABC中，AB=BC=AC，

∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，

∵AE=EB=BD，

∴∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ACB=30°，

∴∠EDB=∠ECB，

∴EC=ED；

（2）如圖2，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，

∴△AEF為等邊三角形；

（3）EC=ED；

理由：∵∠AEF=∠ABC=60°，

∴∠EFC=∠DBE=120°，

∵AB=AC，AE=AF，

∴AB-AE=AC-AF，即BE=FC，

在△DBE和△EFC中，

，

∴△DBE≌△EFC（SAS），

∴ED=EC．