Question

在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB為邊向△ABC外作△ABD，使△ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長．

Answer 1

解：∵AC=4，BC=2，AB=，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ACB為直角三角形，∠ACB=90°．
分三種情況：
如圖（1），過點D作DE⊥CB，垂足為點E．
∵DE⊥CB（已知）
∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定義），
∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形兩銳角互余），
∵△ABD為等腰直角三角形（已知），
∴AB=BD，∠ABD=90°（等腰直角三角形的定義），
∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定義），
∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等），
在△ACB與△BED中，
∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已證），
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BE=AC=4，DE=CB=2（全等三角形對應(yīng)邊相等），
∴CE=6（等量代換）
根據(jù)勾股定理得：CD=2；
如圖（2），過點D作DE⊥CA，垂足為點E．
∵BC⊥CA（已知）
∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定義）
∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形兩銳角互余）
∵△ABD為等腰直角三角形（已知）
∴AB=AD，∠BAD=90°（等腰直角三角形的定義）
∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定義）
∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）
在△ACB與△DEA中，
∵∠ACB=∠DEA（已證）∠CAB=∠EDA（已證） AB=DA（已證）
∴△ACB≌△DEA（AAS）
∴DE=AC=4，AE=BC=2（全等三角形對應(yīng)邊相等）
∴CE=6（等量代換）
根據(jù)勾股定理得：CD=2；
如圖（3），過點D作DE⊥CB，垂足為點E，過點A作AF⊥DE，垂足為點F．
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°，
∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF，
∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，
∴△AFD≌△DEB，易求CD=3．

分析：根據(jù)題意中的△ABD為等腰直角三角形，顯然應(yīng)分為三種情況：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙構(gòu)造輔助線，出現(xiàn)全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行求解．
點評：此題綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．