Question

（2012•湘潭）如圖，在⊙O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，AC=

1

2

AB，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)C作直線PB的垂線CD交PB于D點(diǎn)．

（1）如圖1，求證：△PCD∽△ABC；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PCD≌△ABC？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出△PCD并說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CP⊥AB時(shí)，求∠BCD的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑對(duì)的圓周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可得∠A=∠P，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC；
（2）由△PCD∽△ABC，可知當(dāng)PC=AB時(shí)，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；
（3）由∠ACB=90°，AC=

1

2

AB，可求得∠ABC的度數(shù)，然后利用相似，即可得∠PCD的度數(shù)，又由垂徑定理，求得

AC

=

AP

，然后利用圓周角定理求得∠ACP的度數(shù)，繼而求得答案．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵PD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠ACB，
∵∠A與∠P是

BC

對(duì)的圓周角，
∴∠A=∠P，
∴△PCD∽△ABC；

（2）解：當(dāng)PC是⊙O的直徑時(shí)，△PCD≌△ABC，
理由：∵AB，PC是⊙O的直徑，
∴∠PBC=∠ACB=90°，AB=PC，
∵∠A=∠P
∴△PCD≌△ABC；

（3）解：∵∠ACB=90°，AC=

1

2

AB，
∴∠ABC=30°，
∵△PCD∽△ABC，
∴∠PCD=∠ABC=30°，
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直徑，
∴

AC

=

AP

，
∴∠ACP=∠ABC=30°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD=90°-30°-30°=30°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．