Question

如圖，矩形ABCD的頂點B、C在x軸上，A、D在拋物線y=ax²+bx上，且y=ax²+bx的最大值是2，y=ax²+bx與x軸的正半軸的交點E的坐標是（2，0）．
（1）求a，b的值；
（2）若矩形的頂點均為動點，且矩形在拋物線與x軸圍成的封閉區(qū)域內(nèi)，試探索：是否存在周長為3的矩形？若存在，求出此時B點的坐標；若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得：拋物線y=ax²+bx過點（2，0），（1，2），則可得方程組：

4a+2b=0 a+b=2

，解此方程組即可求得答案；
（2）首先由（1）可得拋物線的解析式，然后設(shè)點A（m，n），則BC=2-2m，BA=-2m²+4m，即可得矩形的周長為：2（AB+BC）=2（2-2m-2m²+4m）=-4m²+4m+4，則可得方程：-4m²+4m+4=3，解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：拋物線y=ax²+bx過點（2，0），（1，2），
∴

4a+2b=0 a+b=2

，
解得：

a=-2 b=4

；

（2）由（1）得：拋物線的解析式為：y=-2x²+4x，
設(shè)點A（m，n），則BC=2-2m，BA=-2m²+4m，
∴矩形的周長為：2（AB+BC）=2（2-2m-2m²+4m）=-4m²+4m+4，
若存在周長為3的矩形ABCD，則：
-4m²+4m+4=3，
即-4m²+4m+1=0，
解得：m=

1± 2

2

，
∵m=

1- 2

2

＜0不符合題意，舍去，
∴m=

1+ 2

2

，
∴存在周長為3的矩形，此時B點的坐標為：（

1+ 2

2

，0）．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程的解法．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．