Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接BE，DE．

（1）如圖1，求證：△BCE≌△DCE；

（2）如圖2，延長(zhǎng)BE交直線CD于點(diǎn)F，G在直線AB上，且FG=FB．

①求證：DE⊥FG；

②已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，若點(diǎn)E在對(duì)角線AC上移動(dòng)，當(dāng)△BFG為等邊三角形時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②DE=2（﹣1）

【解析】試題分析：（1）利用判定定理（SAS）可證；

（2）①利用（1）的結(jié)論與正方形的性質(zhì)，只需證明∠FDE+∠DFG=90°即可；

②由DE⊥FG可構(gòu)造直角三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)可求DE的長(zhǎng)．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，AC是其對(duì)角線，

∴∠DCE=∠BCE，CD=CB

在△BCE與△DCE中，

∴△BCE≌△DCE（SAS）．

（2）①∵由（1）可知△BCE≌△DCE，

∴∠FDE=∠FBC

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD∥AB，

∴∠DFG=∠BGF，∠CFB=∠GBF，

又∵FG=FB，

∴∠FGB=∠FBG，

∴∠DFG=∠CFB，

又∵∠FCB=90°，

∴∠CFB+∠CBF=90°，

∴∠EDF+∠DFG=90°，

∴DE⊥FG

②如下圖所示，

∵△BFG為等邊三角形，

∴∠BFG=60°，

∵由（1）知∠DFG=∠CFB=60°，

在Rt△FCB中，∠FCB=90°，

∴FC=CBcot60°=，DF=2-，

又∵DE⊥FG，

∴∠FDE=∠FED=30°，OD=OE，

在Rt△DFO中，

OD=DFcos30°=-1，

∴DE=2（-1）