科目： 來源：第24章《相似形》常考題集（14）：24.3 相似三角形的性質(zhì)（解析版） 題型：解答題

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．
解答下列問題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF，BD之間的位置關(guān)系為______，數(shù)量關(guān)系為______．
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．
試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C，F(xiàn)重合除外）畫出相應(yīng)圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）
（3）若AC=2，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長的最大值．

科目： 來源：第24章《相似形》�？碱}集（14）：24.3 相似三角形的性質(zhì)（解析版） 題型：解答題

如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動(dòng)，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），設(shè)BE=m，CD=n．
（1）請?jiān)趫D中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進(jìn)行證明；
（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍；
（3）以△ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2）．在邊BC上找一點(diǎn)D，使BD=CE，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過計(jì)算驗(yàn)證BD²+CE²=DE²；
（4）在旋轉(zhuǎn)過程中，（3）中的等量關(guān)系BD²+CE²=DE²是否始終成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

科目： 來源：第24章《相似形》�？碱}集（14）：24.3 相似三角形的性質(zhì)（解析版） 題型：解答題

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE．
（1）求證：∠CBE=36°；
（2）求證：AE²=AC•EC．

科目： 來源：第24章《相似形》�？碱}集（14）：24.3 相似三角形的性質(zhì)（解析版） 題型：解答題

如圖，等腰三角形ABC中，若∠A=∠B=∠DPE，
（1）求證：△APD∽△BEP；
（2）若AP=1，PB=2，BE=，試求出AD的長．

科目： 來源：第24章《相似形》�？碱}集（14）：24.3 相似三角形的性質(zhì)（解析版） 題型：解答題

已知：如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點(diǎn)，∠A=36°，AC=BC，AC²=AB•AD．
（1）試說明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；（2）若AB=1，求AC的值；
（3）試構(gòu)造一個(gè)等腰梯形，該梯形連同它的兩條對角線，得到了8個(gè)三角形，要求構(gòu)造出的圖形中有盡可能多的等腰三角形．（標(biāo)明各角的度數(shù)）

科目： 來源：第24章《相似形》常考題集（14）：24.3 相似三角形的性質(zhì)（解析版） 題型：解答題

如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形．
（1）當(dāng)AC、CD、DB滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，△ACP∽△PDB；
（2）當(dāng)△ACP∽△PDB時(shí)，求∠APB的度數(shù)．

科目： 來源：第24章《相似形》�？碱}集（14）：24.3 相似三角形的性質(zhì)（解析版） 題型：解答題

已知A、D是一段圓弧上的兩點(diǎn)，且在直線l的同側(cè)，分別過這兩點(diǎn)作l的垂線，垂足為B、C，E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD、AE、DE，且∠AED=90度．
（1）如圖①，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的長；
（2）如圖②，若點(diǎn)E恰為這段圓弧的圓心，則線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并予以證明．再探究：當(dāng)A、D分別在直線l兩側(cè)且AB≠CD，而其余條件不變時(shí)，線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論，不必證明．

科目： 來源：第24章《相似形》�？碱}集（14）：24.3 相似三角形的性質(zhì)（解析版） 題型：解答題

如圖，在△ABC中，∠C=90°，在AB邊上取一點(diǎn)D，使BD=BC，過D作DE⊥AB交AC于E，AC=8，BC=6．求DE的長．

科目： 來源：第24章《相似形》�？碱}集（14）：24.3 相似三角形的性質(zhì)（解析版） 題型：解答題

（1）把兩個(gè)含有45°角的直角三角板如圖1放置，點(diǎn)D在BC上，連接BE，AD，AD的延長線交BE于點(diǎn)F．求證：AF⊥BE．
（2）把兩個(gè)含有30°角的直角三角板如圖2放置，點(diǎn)D在BC上，連接BE，AD，AD的延長線交BE于點(diǎn)F．問AF與BE是否垂直？并說明理由．

科目： 來源：第24章《相似形》常考題集（14）：24.3 相似三角形的性質(zhì)（解析版） 題型：解答題

如圖，已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)E、F在AB上，∠ECF=45°．
（1）求證：△ACF∽△BEC；
（2）設(shè)△ABC的面積為S，求證：AF•BE=2S；
（3）試判斷以線段AE、EF、FB為邊的三角形的形狀并給出證明．