科目： 來(lái)源：第24章《相似形》中考題集（19）：24.3 相似三角形的性質(zhì)（解析版） 題型：解答題

如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD上運(yùn)動(dòng)，AC與BE交于點(diǎn)F．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到DC的中點(diǎn)時(shí)，求△ABF與四邊形ADEF的面積之比；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CE：ED=2：1時(shí)，求△ABF與四邊形ADEF的面積之比；
（3）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CE：ED=3：1時(shí)，寫出△ABF與四邊形ADEF的面積之比；當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CE：ED=n：1（n是正整數(shù)）時(shí)，猜想△ABF與四邊形ADEF的面積之比（只寫結(jié)果，不要求寫出計(jì)算過程）；
（4）請(qǐng)你利用上述圖形，提出一個(gè)類似的問題

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已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=12，點(diǎn)E是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與端點(diǎn)C，D重合），AE的垂直平分線FP分別交AD，AE，BC于點(diǎn)F，H，G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
（1）設(shè)DE=m（0＜m＜12），試用含m的代數(shù)式表示的值；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，求BP的長(zhǎng)．

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如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD與EF的交點(diǎn)．
（1）求證：△BCF≌△DCE；
（2）若BC=5，CF=3，∠BFC=90°，求DG：GC的值．

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如圖，四邊形ABCD和BEFG均為正方形，則=______

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在一次課題學(xué)習(xí)中活動(dòng)中，老師提出了如下一個(gè)問題：
點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P畫直線l分別交正方形的兩邊于點(diǎn)M、N，使點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn)，這樣的直線能夠畫幾條？
經(jīng)過思考，甲同學(xué)給出如下畫法：
如圖1，過點(diǎn)P畫PE⊥AB于E，在EB上取點(diǎn)M，使EM=2EA，畫直線MP交AD于N，則直線MN就是符合條件的直線l．
根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（1）甲同學(xué)的畫法是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）在圖1中，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，請(qǐng)直接在圖1中畫出；
（3）如圖2，A₁，C₁分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點(diǎn)，且A₁C₁∥AD．當(dāng)點(diǎn)P在線段A₁C₁上時(shí)，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，可以畫出幾條？
（4）如圖3，正方形ABCD邊界上的A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂，D₁，D₂都是所在邊的三等分點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)的不同位置時(shí)，試討論，符合題目條件的直線l的條數(shù)的情況．

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如圖：四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H，把四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形．連接AC、BD，容易證明：中點(diǎn)四邊形EFGH一定是平行四邊形．
（1）如果改變?cè)�四邊形ABCD的形狀，那么中點(diǎn)四邊形的形狀也隨之改變，通過探索可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足AC=BD時(shí)，四邊形EFGH為菱形．
當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足______時(shí)，四邊形EFGH為矩形；
當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足______時(shí)，四邊形EFGH為正方形；
（2）探索三角形AEH、三角形CFG與四邊形ABCD的面積之間的等量關(guān)系，請(qǐng)寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明；
（3）如果四邊形ABCD的面積為2，那么中點(diǎn)四邊形EFGH的面積是多少？

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圖1是由五個(gè)邊長(zhǎng)都是1的正方形紙片拼接而成的，過點(diǎn)A₁的直線分別與BC₁、BE交于點(diǎn)M、N，且圖1被直線MN分成面積相等的上、下兩部分．

（1）求的值；
（2）求MB、NB的長(zhǎng)；
（3）將圖1沿虛線折成一個(gè)無(wú)蓋的正方體紙盒（圖2）后，求點(diǎn)M、N間的距離．

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如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E為CD的中點(diǎn)，EF∥AB交BC于點(diǎn)F
（1）求證：BF=AD+CF；
（2）當(dāng)AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC時(shí)，求EF的長(zhǎng)．

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如圖，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3）．動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿B?A，B?C運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米/秒．過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q．當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）若a=4厘米，t=1秒，則PM=______厘米；
（2）若a=5厘米，求時(shí)間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；
（3）若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；
（4）是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等？若存在，求a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

科目： 來(lái)源：第24章《相似形》中考題集（19）：24.3 相似三角形的性質(zhì)（解析版） 題型：解答題

如圖，梯形ABCD中．AB∥CD．且AB=2CD，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)．EF與BD相交于點(diǎn)M．
（1）求證：△EDM∽△FBM；
（2）若DB=9，求BM．