已知點P是△ABC的中位線EF上任意一點,且EF∥BC,實數(shù)x,y滿足
PA
+x
PB
+y
PC
=0
.設(shè)△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面積分別為S,S1,S2,S3,記
S3
S
 3
S 1
S
 1
,
S 2
S
 2
.則λ2•λ3取最大值時,2x+y的值為
3
2
3
2
分析:由題意可得,S1 =
1
2
S
=S2+S3利用基本不等式λ2 •   λ3=
S2S3
S2
(S2+S3)2
4
S2
=
1
16
可知當λ2•λ3取最大值時點P在EF的中點,由向量的加法的四邊形法則可得,
PA
+
PB
=2
PE
,
PA
+
PC
=2
PF
,從而可得2
PA
+
PB
+
PC
=
0
   結(jié)合
PA
+x
PB
+y
PC
=0
可求x,y
解答:解:由題意可得,S1 =
1
2
S
=S2+S3
λ2 •   λ3=
S2S3
S2
(S2+S3)2
4
S2
=
1
16
當且僅當S2=S3時取等號,此時點P在EF的中點
PE
+
PF
=
0

由向量的加法的四邊形法則可得,
PA
+
PB
=2
PE
,
PA
+
PC
=2
PF

2
PA
+
PB
+
PC
=
0
PA
+x
PB
+y
PC
=0

x=y=
1
2
,2x+y=
3
2
點評:本題綜合考查了利用基本不等式求解最值,向量加法的四邊形法則的應(yīng)用,構(gòu)思比較巧妙,要注意體會掌握.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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已知點P是△ABC的內(nèi)心(三個內(nèi)角平分線交點)、外心(三條邊的中垂線交點)、重心(三條中線交點)、垂心(三個高的交點)之一,且滿足2
AP
BC
=
AC
2
-
AB
2
,則點P一定是△ABC的( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•濟南二模)已知點P是△ABC的中位線EF上任意一點,且EF∥BC,實數(shù)x,y滿足
PA
+x
PB
+y
PC
=0
.設(shè)△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面積分別為S,S1,S2,S3,記
S1
S
=λ1
S2
S
=λ2
,
S3
S
=λ3
.則λ2•λ3取最大值時,2x+y的值為( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•朝陽區(qū)二模)已知點P是△ABC的中位線EF上任意一點,且EF∥BC.設(shè)△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面積分別為S,S1,S2,S3,記
S1
S
=λ1
,
S2
S
=λ2
,
S3
S
=λ3
,定義M(P)=(λ1,λ2,λ3).當λ2•λ3取最大值時,則M(P)等于(  )

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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年山東省臨沂市沂南縣大學臥龍學校高三(上)競賽數(shù)學試卷(理科)(復(fù)習班)(解析版) 題型:選擇題

已知點P是△ABC的中位線EF上任意一點,且EF∥BC,實數(shù)x,y滿足.設(shè)△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面積分別為S,S1,S2,S3,記,.則λ2•λ3取最大值時,2x+y的值為( )
A.
B.
C.1
D.2

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