已知點P是△ABC的中位線EF上任意一點，且EF∥BC，實數(shù)x，y滿足
PA
+x
PB
+y
PC
=0．設(shè)△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記
S3
S
=λ 3，
S 1
S
=λ 1，
S 2
S
=λ 2．則λ2•λ3取最大值時，2x+y的值為
3
2
3
2
．
分析：由題意可得，S1 =
1
2
S=S2+S3利用基本不等式λ2 •   λ3=
S2•S3
S2
≤
(S2+S3)2
4
S2
=
1
16
可知當λ2•λ3取最大值時點P在EF的中點，由向量的加法的四邊形法則可得，
PA
+
PB
=2
PE
，
PA
+
PC
=2
PF
，從而可得2
PA
+
PB
+
PC
=
0
   結(jié)合
PA
+x
PB
+y
PC
=0可求x，y
解答：解：由題意可得，S1 =
1
2
S=S2+S3
λ2 •   λ3=
S2•S3
S2
≤
(S2+S3)2
4
S2
=
1
16
當且僅當S2=S3時取等號，此時點P在EF的中點
∴
PE
+
PF
=
0

由向量的加法的四邊形法則可得，
PA
+
PB
=2
PE
，
PA
+
PC
=2
PF

∴2
PA
+
PB
+
PC
=
0
∵
PA
+x
PB
+y
PC
=0
∴x=y=
1
2
，2x+y=
3
2
點評：本題綜合考查了利用基本不等式求解最值，向量加法的四邊形法則的應(yīng)用，構(gòu)思比較巧妙，要注意體會掌握．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P是△ABC的內(nèi)心（三個內(nèi)角平分線交點）、外心（三條邊的中垂線交點）、重心（三條中線交點）、垂心（三個高的交點）之一，且滿足2
AP
•
BC
=
AC
2-
AB
2，則點P一定是△ABC的（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•濟南二模）已知點P是△ABC的中位線EF上任意一點，且EF∥BC，實數(shù)x，y滿足
PA
+x
PB
+y
PC
=0．設(shè)△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記
S1
S
=λ1，
S2
S
=λ2，
S3
S
=λ3．則λ2•λ3取最大值時，2x+y的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•朝陽區(qū)二模）已知點P是△ABC的中位線EF上任意一點，且EF∥BC．設(shè)△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記
S1
S
=λ1，
S2
S
=λ2，
S3
S
=λ3，定義M（P）=（λ1，λ2，λ3）．當λ2•λ3取最大值時，則M（P）等于（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年山東省臨沂市沂南縣大學臥龍學校高三（上）競賽數(shù)學試卷（理科）（復(fù)習班）（解析版） 題型：選擇題

已知點P是△ABC的中位線EF上任意一點，且EF∥BC，實數(shù)x，y滿足．設(shè)△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記，，．則λ2•λ3取最大值時，2x+y的值為（ ）
A．
B．
C．1
D．2

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