在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（b，c為常數(shù)）的頂點為P，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標(biāo)為（0，﹣1），C的坐標(biāo)為（4，3），直角頂點B在第四象限．

（1）如圖，若該拋物線過A，B兩點，求該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）平移（1）中的拋物線，使頂點P在直線AC上滑動，且與AC交于另一點Q．
（i）若點M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點，當(dāng)以M、P、Q三點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；
（ii）取BC的中點N，連接NP，BQ．試探究是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．

如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=4，OC=3，若拋物線的頂點在BC邊上，且拋物線經(jīng)過O，A兩點，直線AC交拋物線于點D．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求點D的坐標(biāo)；
（3）若點M在拋物線上，點N在x軸上，是否存在以A，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

已知拋物線 a≠0）的對稱軸是直線l，頂點為點M．若自變量x和函數(shù)值y₁的部分對應(yīng)值如下表所示：

x	…	―1	0	3	…
	…	0		0	…

綜合與探究：如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點(點B在點A的右側(cè))與y軸交于點C,連接BC,以BC為一邊,點O為對稱中心作菱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q。

（1）求點A,B,C的坐標(biāo)。
（2）當(dāng)點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD，BC于點M,N。試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由。
（3）當(dāng)點P在線段EB上運動時，是否存在點 Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于A，B兩點，橋拱最高點C到AB的距離為9m，AB=36m，D，E為橋拱底部的兩點，且DE∥AB，點E到直線AB的距離為7m，則DE的長為　 　m.

矩形紙片ABCD中，AB=5，AD=4．
（1）如圖1，四邊形MNEF是在矩形紙片ABCD中裁剪出的一個正方形．你能否在該矩形中裁剪出一個面積最大的正方形，最大面積是多少？說明理由；

（2）請用矩形紙片ABCD剪拼成一個面積最大的正方形．要求：在圖2的矩形ABCD中畫出裁剪線，并在網(wǎng)格中畫出用裁剪出的紙片拼成的正方形示意圖（使正方形的頂點都在網(wǎng)格的格點上）．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，B點的坐標(biāo)為(3，0)，與y軸交于點C（0，－3），點P是直線BC下方拋物線上的一個動點．

（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形.是否存在點P，使四邊形為菱形？若存在，求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.

如圖，已知拋物線（b，c是常數(shù)，且c<0）與x軸分別交于點A，B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點C，點A的坐標(biāo)為(－1，0)．

（1）b＝　 　 ，點B的橫坐標(biāo)為　 　 （上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；
（2）連接BC，過點A作直線AE∥BC，與拋物線交于點E．點D是x軸上一點，其坐標(biāo)為
(2，0)，當(dāng)C，D，E三點在同一直線上時，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，點P是x軸下方的拋物線上的一動點，連接PB，PC，設(shè)所得△PBC的面積為S．
①求S的取值范圍；
②若△PBC的面積S為整數(shù)，則這樣的△PBC共有　 　 個．

已知拋物線C₁的頂點為P（1，0），且過點（0，）．將拋物線C₁向下平移h個單位（h＞0）得到拋物線C₂．一條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于A、B、C、D四點（如圖），且點A、C關(guān)于y軸對稱，直線AB與x軸的距離是m²（m＞0）．

（1）求拋物線C₁的解析式的一般形式；
（2）當(dāng)m=2時，求h的值；
（3）若拋物線C₁的對稱軸與直線AB交于點E，與拋物線C₂交于點F．求證：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸的正半軸上，且長分別為m、4m（m＞0），D為邊AB的中點，一拋物線l經(jīng)過點A、D及點M（﹣1，﹣1﹣m）．

（1）求拋物線l的解析式（用含m的式子表示）；
（2）把△OAD沿直線OD折疊后點A落在點A′處，連接OA′并延長與線段BC的延長線交于點E，若拋物線l與線段CE相交，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）在滿足（2）的條件下，求出拋物線l頂點P到達最高位置時的坐標(biāo)．