已知拋物線過(guò)點(diǎn)A(1，0)，頂點(diǎn)為B，且拋物線不經(jīng)過(guò)第三象限。
（1）使用a、c表示b；
（2）判斷點(diǎn)B所在象限，并說(shuō)明理由；
（3）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且于該拋物線交于另一點(diǎn)C(),求當(dāng)x≥1時(shí)y₁的取值范圍。

我們知道，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線解析式可以是。
（1）對(duì)于這樣的拋物線：
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，a=       ；
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），m≠0時(shí)，a 與m之間的關(guān)系式是       ；
（2）繼續(xù)探究，如果b≠0，且過(guò)原點(diǎn)的拋物線頂點(diǎn)在直線上，請(qǐng)用含k的代數(shù)式表示b；
（3）現(xiàn)有一組過(guò)原點(diǎn)的拋物線，頂點(diǎn)A₁，A₂，…，A_n在直線上，橫坐標(biāo)依次為1，2，…，n（n為正整數(shù)，且n≤12），分別過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)作x軸的垂線，垂足記為B₁，B₂，B₃，…，B_n，以線段A_nB_n為邊向右作正方形A_nB_nC_nD_n，若這組拋物線中有一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)D_n，求所有滿足條件的正方形邊長(zhǎng)。

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與 軸交于A（，0），B（2，0），且與軸交于點(diǎn)C.


（1）求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；
（2）點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)， 連接PO，PC，
并把△POC沿CO翻折，得到四邊形，求出使四邊形為菱形的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3) 在此拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，B，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在, 求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+6x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在線段OC上，OD=t，點(diǎn)E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足為F．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）求線段EF、OF的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)△ECA為直角三角形時(shí)，求t的值．

已知二次函數(shù) (a、m為常數(shù)，且a¹0)。
（1）求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）設(shè)該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D。
①當(dāng)△ABC的面積等于1時(shí)，求a的值：
②當(dāng)△ABC的面積與△ABD的面積相等時(shí)，求m的值。

如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊BC上，若∠AEF=90⁰，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．

（1）圖1中若點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，我們可以構(gòu)造兩個(gè)三角形全等來(lái)證明AE=EF，請(qǐng)敘述你的一個(gè)構(gòu)造方案，并指出是哪兩個(gè)三角形全等（不要求證明）；
（2）如圖2，若點(diǎn)E在線段BC上滑動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合）．
①AE=EF是否總成立？請(qǐng)給出證明；
②在如圖2的直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)E滑動(dòng)到某處時(shí)，點(diǎn)F恰好落在拋物線上，求此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．

如圖，拋物線與直線交于C，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為。點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F.

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若存在點(diǎn)P，使∠PCF=45⁰，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），以AB的中點(diǎn)P為圓心，AB為直徑作⊙P的正半軸交于點(diǎn)C．

（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)M為（1）中拋物線的頂點(diǎn)，求直線MC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
（3）試說(shuō)明直線MC與⊙P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

已知拋物線的頂點(diǎn)A（2，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，－1）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上找出一點(diǎn)C，使以BC為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)A．并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)以及此時(shí)圓的圓心P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，設(shè)直線x=t（0<t<10）與拋物線交于點(diǎn)N，當(dāng)t為何值時(shí)，△BCN的面積最大，并求出最大值．

某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計(jì)的學(xué)生單人桌的抽屜部分是長(zhǎng)方體形．其中，抽屜底面周長(zhǎng)為180cm，高為20cm．請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，當(dāng)?shù)酌娴膶抶為何值時(shí)，抽屜的體積y最大？最大為多少？（材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計(jì)）．