觀(guān)察三列數(shù)：①1，4，9，16，25，…，②0，3，8，15，24，…，③4，7，12，19，28，…，
（1）第①行數(shù)按什么規(guī)律排列？
（2）第②③行的數(shù)與第①行的數(shù)有什么關(guān)系？
（3）取每行的第12個(gè)數(shù)，計(jì)算這三個(gè)數(shù)的和．

觀(guān)察算式：
1+3=

(1+3)×2

2

，1+3+5=

(1+5)×3

2

，1+3+5+7=

(1+7)×4

2

…
按規(guī)律填空：
（1）1+3+5+7+9+…+99=______．
（2）1+3+5+7+9+…+（2n-1）=______．

（1）計(jì)算：2^-1+2007⁰+

1

2 +1

+tan45°；
（2）化簡(jiǎn)求值：(1+

1

x-1

)•(x2-1)，其中x=

1

3

．
（3）在數(shù)學(xué)上，對(duì)于兩個(gè)數(shù)p和q有三種平均數(shù)，即算術(shù)平均數(shù)A、幾何平均數(shù)G、調(diào)和平均數(shù)H，其中A=

p+q

2

，G=

pq

．而調(diào)和平均數(shù)中的“調(diào)和”二字來(lái)自于音樂(lè)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，如果三根琴弦的長(zhǎng)度p=10，H=12，q=15滿(mǎn)足

1

10

-

1

12

=

1

12

-

1

15

，再把它們繃得一樣緊，并用同樣的力彈撥，它們將會(huì)分別發(fā)出很調(diào)和的樂(lè)聲．我們稱(chēng)p、H、q為一組調(diào)和數(shù)，而把H稱(chēng)為p和q的調(diào)和平均數(shù)．
①若p=2，q=6，則A=______，G=______．
②根據(jù)上述關(guān)系，用p、q的代數(shù)式表示出它們的調(diào)和平均數(shù)H；并根據(jù)你所得到的結(jié)論，再寫(xiě)出一組調(diào)和數(shù)．

觀(guān)察下列三行數(shù)：
-1，2，-4，8，-16，32，…； ①
-2，4，-8，16，-32，64，…； ②
0，6，-6，18，-30，66，…； ③
（1）第①行數(shù)按什么規(guī)律排列？
（2）第②③行數(shù)與第①行數(shù)分別有什么關(guān)系？
（3）取每行數(shù)的第n個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和能否等于-1278？如果能，指出是每行的第幾個(gè)數(shù)，并求出這三個(gè)數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

觀(guān)察下列等式：1²-0²=1；2²-1²=3；3²-2²=5；4²-3²=7；…用含自然數(shù)n的等式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為_(kāi)_____．

先觀(guān)察數(shù)列的規(guī)律，在橫線(xiàn)上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：-27，-19，-11，-3，+5，______，______．

觀(guān)察數(shù)字-1，2，7，14，23，34，…的規(guī)律，照此規(guī)律第n個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．

已知數(shù)列

1

1

，

1

2

，

2

2

，

1

2

，

1

3

，

2

3

，

3

3

，

2

3

，

1

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

4

4

，

3

4

，

2

4

，

1

4

，…，記第一個(gè)數(shù)為a₁，第二個(gè)數(shù)為a₂，…，第n個(gè)數(shù)為a_n，若a_n是方程

1

3

(1-x)=

2

7

(2x+1)的解，則n=______．

瑞士中學(xué)教師巴爾末成功地從光譜數(shù)據(jù)

9

5

，

16

12

，

25

21

，

36

32

，…中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律得到巴爾末公式，從而打開(kāi)了光譜奧妙的大門(mén)，請(qǐng)按這種規(guī)律寫(xiě)出第5個(gè)數(shù)據(jù)是______．

有一列數(shù)：a₁，a₂，a₃，a₄…其中a₁=4×2+1，a₂=4×3+2，a₃=4×4+3，a₄=4×5+4…，當(dāng)a_n=2014時(shí)，則n的值為_(kāi)_____．