Question

如圖甲所示，底面積為80cm²的圓筒形容器內(nèi)裝有適量的液體，放在水平桌面上；底面積為60cm²的圓柱形物體A懸掛在細(xì)繩的下端靜止時(shí)，細(xì)繩對(duì)物體A的拉力為F₁．將物體A浸沒(méi)在圓筒形容器內(nèi)的液體中，靜止時(shí)，容器內(nèi)的液面升高了7.5cm，如圖乙所示，此時(shí)細(xì)繩對(duì)物體A的拉力為F₂，物體A上表面到液面的距離為h₁．然后，將物體A豎直向上移動(dòng)h₂，物體A靜止時(shí)，細(xì)繩對(duì)物體A的拉力為F₃．已知F₁與F₂之差為7.2N，F(xiàn)₂與F₃之比為 5：8，h₁為3cm，h₂為5cm．不計(jì)繩重，g取10N/kg．則液體的密度是

1.2×10³

kg/m³，物體A的密度是

2.8×10³

kg/m³．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)容器的底面積和上升的高度求出物體的體積，然后根據(jù)浮力的大小（F₁與F₂之差）求出液體的密度；
（2）若求物體的密度，就必須利用“F₂與F₃之比為5：8”，物體全部浸沒(méi)時(shí)，F(xiàn)₂為F₁與F_浮的差，而將物體提升h₂后，F(xiàn)₃為F₂與此時(shí)物體所受浮力的差，那么求出提升h₂后，物體A排開(kāi)水的體積，即浸沒(méi)在水中部分的體積為解答此題的關(guān)鍵；
首先將研究對(duì)象簡(jiǎn)化，在圖乙中，物體完全浸沒(méi)時(shí)，以物體A的底面所在平面為參考面，在提升物體前后，此面以下的液體體積不會(huì)發(fā)生變化，所以可以先不予考慮；那么參考面以上部分，物體和水的體積總和在提升物體前后始終不變，可利用這個(gè)等量關(guān)系來(lái)列出方程求得提升物體后，物體浸沒(méi)在水中的高度，進(jìn)而可求出這部分的體積大小，即：排開(kāi)水的體積，由此整個(gè)題目的未知量全部求出．

解答：解：
（1）v_A=80cm²×7.5cm=600cm³，
則物體A的高度為：h_A=

VA

SA

=

600cm3

60cm2

=10cm；
因?yàn)槲矬w在空氣中靜止時(shí)，繩子的拉力等于物體的重力即F₁，
又因?yàn)镕₁與F₂之差為7.2N，
因此物體在液體中受到的浮力等于7.2N；
即7.2N=ρ_液gv_A
7.2N=ρ_液×10N/kg×600×10^-6m³
ρ_液=1.2×10³kg/m³；
（2）②如圖乙，當(dāng)物體A全部浸沒(méi)在水中時(shí)，以其底面所在平面為參考面，設(shè)其位置為e，那么在提出物體A時(shí)，在位置e以下的部分體積不再發(fā)生變化，因此不做考慮；
那么當(dāng)物體A提起h₂時(shí)，位置e以上的總體積保持不變，若設(shè)物體提起h₂時(shí)，物體A在液面上的部分高度為xcm，那么以這個(gè)總體積不變作為等量關(guān)系，可列出：
S_容器?（h_A+h₁）=S_A?x+S_容器?（h_A+h₂-x），即：
80cm²×（10cm+3cm）=60cm²×x+80cm²×（10cm+5cm-x）
解得：x=8；
那么此時(shí)，物體A浸入水中的高度為：h=10cm-8cm=2cm．
③已知：完全浸沒(méi)時(shí)細(xì)繩對(duì)物體A的拉力為F₂與提升高度h₂時(shí)細(xì)繩對(duì)物體A的拉力為F₃的比值為 5：8，得：
（F₁-F_浮）：（F₁-ρ_液gv_排）=5：8，即：
（ρ_Ags_Ah_A-ρ_液gs_Ah_A）：（ρ_Ags_Ah_A-ρ_液gs_Ah）=5：8
解得：ρ_A=

7

3

ρ_液=

7

3

×1.2×10³kg/m³=2.8×10³kg/m³．
故答案為：1.2×10³；2.8×10³．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了密度公式的應(yīng)用和浮力公式的應(yīng)用，在提升物體時(shí)，水面發(fā)生的高度變化是此題的一個(gè)難點(diǎn)．