Question

14．某科技小組的同學們制作了一個多檔位電熱器模型．為了分析接入電路的電阻對電熱器的電功率的影響，他們將電表接入電路中，其電路圖如圖所示．當只閉合開關S₁時，電壓表的示數(shù)為U₁，電阻R₃消耗的電功率為P₃；當只閉合開關S₂時，電壓表的示數(shù)為U₂，電阻R₃消耗的電功率為P′₃，測得此時電阻R₂消耗的電功率為1.6W．已知2U₁=U₂，P₃=4P′₃，電源兩端電壓保持不變．則R₁：R₂=1：4；當開關S₁、S₂、S₃都閉合時，電路消耗的電功率最大，這個最大值為18 W．

Answer 1

分析 （1）只閉合S₁時R₁和R₃串聯(lián)，只閉合S₂時R₂和R₃串聯(lián)，根據(jù)P=I²R表示出電阻R₃消耗的電功率結合比值求出兩電流關系，根據(jù)歐姆定律表示出電壓表的示數(shù)，結合電流關系即可求出電阻R₁與電阻R₂的比值；
（2）根據(jù)電壓不變時，通過的電流與電阻成反比，得出三個電阻間的關系，根據(jù)歐姆定律求出只閉合S₂時電路中的電流大小，根據(jù)P=I²R表示出此時的R₂的電功率，得出電源電壓U與R₂的關系；
當S₁、S₂、S₃都閉合時，R₁和R₂并聯(lián)，此時電路中的總電阻最小，電路的總功率最大，根據(jù)并聯(lián)電路的電壓特點和P=$\frac{{U}^{2}}{R}$ 表示出R₁和R₂的電功率，兩者之和即為最大總功率．

解答 解：（1）只閉合S₁時，R₁和R₂串聯(lián)，等效電路圖如圖1所示；只閉合S₂時，R₂和R₃串聯(lián)，等效電路圖如圖2所示．

因P=I²R，且P₃：P₃′=4：1，
$\frac{{P}_{3}}{{P′}_{3}}=\frac{{{I}_{1}}^{2}{R}_{3}}{{{{I}_{2}}^{2}R}_{3}}=（\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}）^{2}$=$\frac{4}{1}$，$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}=\frac{2}{1}$，因I=$\frac{U}{R}$，且U₁：U₂=1：2，所以$\frac{{U}_{1}}{{U}_{2}}=\frac{{{I}_{1}R}_{1}}{{{I}_{2}R}_{2}}=\frac{2}{1}×\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}=\frac{1}{4}$
（2）因電源的電壓不變，通過導體電流與電阻成反比，$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}=\frac{{R}_{2}{+R}_{3}}{{R}_{1}{+R}_{3}}=\frac{{4R}_{1}{+R}_{3}}{{R}_{1}{+R}_{3}}=\frac{2}{1}$，
解得：R₃=2R₁，所以，R₂=4R₁=2R₃，
圖2中：I₂=$\frac{U}{{R}_{2}{+R}_{3}}=\frac{U}{{R}_{2}+0．{5R}_{2}}=\frac{2U}{{3R}_{2}}$，P₂=I₂²R₂=$（\frac{2U}{{3R}_{2}}）^{2}{×R}_{2}=\frac{4}{9}\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$=1.6W，
即 $\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$=3.6W，
當S₁、S₂、S₃都閉合時，R₁和R₂并聯(lián)，此時R_總最小，電路的總功率最大．

因并聯(lián)電路中各支路兩端的電壓相等，所以，電路消耗的最大功率為
P=P₁+P₂′=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}+\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}=\frac{{U}^{2}}{0.2{5R}_{2}}+\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}=5\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$=5×3.6W=18W．
答：（1）電阻R₁與電阻R₂的比值為1：4；
（2）當S₁、S₂、S₃都閉合時，電路消耗總功率最大，最大為18W．

點評 弄清三種情況下電路的連接形式，結合已知的幾個等式2U₁=U₂，P₃=4P₃′，從R₂消耗的電功率為1.6W為突破口，是解決本題的關鍵，屬于壓軸題．