Question

6．將n杯體積為V_A密度為ρ_A的鹽水，倒入裝有體積為V_B密度為ρ_B的水的大容器中
（1）混合密度ρ_n為多少？
（2）試著算算，$\frac{{ρ}_{n}-{ρ}_{B}}{{ρ}_{A}-{ρ}_{n}}$；
（3）如果密度為ρ_A的鹽水有無(wú)數(shù)杯，都倒入大容器中，那么大容器中水的最終密度為多少？

Answer 1

分析 （1）知道鹽水和水的密度、體積，根據(jù)m=ρV求出鹽水和水總質(zhì)量，兩者的體積為總體積，總體積和總質(zhì)量的比值即為混合密度；
（2）把混合密度代入得出表達(dá)式；
（3）分析混合密度的表達(dá)式得出鹽水有無(wú)數(shù)杯時(shí)液體密度的大�。�

解答 解：（1）由ρ=$\frac{m}{V}$可得，混合液的質(zhì)量：
m=m_鹽水+m_水=nρ_AV_A+ρ_BV_B，
混合的體積：
V=V_鹽水+V_水=nV_A+V_B，
則混合液的密度：
ρ_n=$\frac{m}{V}$=$\frac{n{ρ}_{A}{V}_{A}+{ρ}_{B}{V}_{B}}{n{V}_{A}+{V}_{B}}$；
（2）因ρ_n-ρ_B=$\frac{n{ρ}_{A}{V}_{A}+{ρ}_{B}{V}_{B}}{n{V}_{A}+{V}_{B}}$-ρ_B=$\frac{n{V}_{A}（{ρ}_{A}-{ρ}_{B}）}{n{V}_{A}+{V}_{B}}$，
ρ_A-ρ_n=ρ_A-$\frac{n{ρ}_{A}{V}_{A}+{ρ}_{B}{V}_{B}}{n{V}_{A}+{V}_{B}}$=$\frac{（{ρ}_{A}-{ρ}_{B}）{V}_{B}}{n{V}_{A}+{V}_{B}}$，
所以，$\frac{{ρ}_{n}-{ρ}_{B}}{{ρ}_{A}-{ρ}_{n}}$=$\frac{n{V}_{A}}{{V}_{B}}$；
（3）混合液的密度：
ρ_n=$\frac{n{ρ}_{A}{V}_{A}+{ρ}_{B}{V}_{B}}{n{V}_{A}+{V}_{B}}$=$\frac{{ρ}_{A}{V}_{A}+\frac{{ρ}_{B}{V}_{B}}{n}}{{V}_{A}+\frac{{V}_{B}}{n}}$
鹽水有無(wú)數(shù)杯，即n→∞時(shí)，$\frac{{ρ}_{B}{V}_{B}}{n}$→0、$\frac{{V}_{B}}{n}$→0，
則ρ_n=$\frac{{ρ}_{A}{V}_{A}+\frac{{ρ}_{B}{V}_{B}}{n}}{{V}_{A}+\frac{{V}_{B}}{n}}$=$\frac{{ρ}_{A}{V}_{A}}{{V}_{A}}$=ρ_A．
答：（1）混合密度ρ_n為$\frac{n{ρ}_{A}{V}_{A}+{ρ}_{B}{V}_{B}}{n{V}_{A}+{V}_{B}}$；
（2）$\frac{{ρ}_{n}-{ρ}_{B}}{{ρ}_{A}-{ρ}_{n}}$=$\frac{n{V}_{A}}{{V}_{B}}$；
（3）如果密度為ρ_A的鹽水有無(wú)數(shù)杯，都倒入大容器中，那么大容器中水的最終密度為ρ_A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了有關(guān)混合液密度的計(jì)算，要注意混合液的密度等于混合液的質(zhì)量和混合液體積的比值．