Question

4．如圖所示，邊長為0.2米的正方體甲和底面積為0.03米²的薄壁柱形容器乙放在水平地面上，乙容器高0.4米，內(nèi)盛有0.3米深的水．正方體甲的密度為5×10³千克/米³．
求：
（1）甲的質(zhì)量；
（2）水對(duì)乙容器底部的壓強(qiáng)；
（3）把一個(gè)底面積為0.02米²，高0.3米圓柱體A（已知ρ_水＞ρ_A）先后放置在正方體甲上和乙容器的水中，甲對(duì)地面壓強(qiáng)的增加量與水對(duì)乙容器底部的壓強(qiáng)增加量相等，求A物體的質(zhì)量．

Answer 1

分析 （1）已知正方體甲的邊長可求體積，又知道正方體甲的密度，根據(jù)m=ρV求出甲的質(zhì)量；
（2）已知水的深度，利用公式p=ρgh求出水對(duì)乙容器底部的壓強(qiáng)；
（3）水平面上物體的壓力和自身的重力，根據(jù)p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$表示出甲對(duì)地面壓強(qiáng)的增加量，由ρ_水＞ρ_A可知圓柱體A在乙容器中處于漂浮狀態(tài)，受到的浮力和自身的重力相等，根據(jù)F_浮=ρgV_排表示出物體A排開水的體積，設(shè)水未溢出，根據(jù)體積公式表示出水面上升的高度，利用p=ρgh表示出水對(duì)乙容器底部的壓強(qiáng)增加量，利用甲對(duì)地面壓強(qiáng)的增加量與水對(duì)乙容器底部的壓強(qiáng)增加量相等得出等式，然后判斷出乙中水應(yīng)溢出，再求出水面上升的高度，利用甲對(duì)地面壓強(qiáng)的增加量與水對(duì)乙容器底部的壓強(qiáng)增加量相等得出等式即可求出物體A的質(zhì)量．

解答 解：（1）正方體甲的體積：
V_甲=（0.2m）³=8×10^-3m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，甲物體的質(zhì)量：
m_甲=ρ_甲V_甲=5×10³kg/m³×8×10^-3m³=40kg；
（2）水對(duì)乙容器底部的壓強(qiáng)：
p_水=ρ_水gh=1.0×10³kg/m³×9.8N/kg×0.3m=2940Pa；
（3）因水平面上物體的壓力和自身的重力相等，
所以，圓柱體A放置在正方體甲上時(shí)，甲對(duì)地面壓強(qiáng)的增加量：
△p_甲=$\frac{△{F}_{甲}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{G}_{A}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{甲}}$，
因ρ_水＞ρ_A，
所以，圓柱體A放置在乙容器的水中時(shí)，處于漂浮狀態(tài)，受到的浮力和自身的重力相等，
由F_浮=ρgV_排可得，物體A排開水的體積：
V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{{G}_{A}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{水}}$，
若水未溢出，水面上升的高度：
△h=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{乙}-{S}_{A}}$=$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{水}（{S}_{乙}-{S}_{A}）}$，
水對(duì)乙容器底部的壓強(qiáng)增加量：
△p_水=ρ_水g△h=ρ_水g×$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{水}（{S}_{乙}-{S}_{A}）}$=$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{乙}-{S}_{A}}$，
因甲對(duì)地面壓強(qiáng)的增加量與水對(duì)乙容器底部的壓強(qiáng)增加量相等，
所以，$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{甲}}$=$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{乙}-{S}_{A}}$，
則S_甲=S_乙-S_A=0.03m²-0.02m²≠（0.2m）²=0.04m²，
故乙容器內(nèi)水有溢出，水面上升的高度：
△h′=h_容-h_水=0.4m-0.3m=0.1m，
由△p_甲=△p_水可得：
$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{甲}}$=ρ_水g△h′，
即m_A=ρ_水S_甲△h′=1.0×10³kg/m³×0.04m²×0.1m=4kg．
答：（1）甲的質(zhì)量為40kg；
（2）水對(duì)乙容器底部的壓強(qiáng)為2940Pa；
（3）A物體的質(zhì)量為4kg．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了密度公式和液體壓強(qiáng)公式、固體壓強(qiáng)公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是會(huì)判斷圓柱體A放入乙容器中時(shí)水是否溢出，要注意水平面上物體的壓力和自身的重力相等．