Question

8．如圖，半徑為R的光滑圓環(huán)豎直放置，質(zhì)量為m的小球在其軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)，小球在最高點(diǎn)A時(shí)的速度為v=$\sqrt{2gR}$，小球的機(jī)械能守恒，已知物體動(dòng)能大小E_k=$\frac{1}{2}$mv²，重力勢能E_p=mgh．
①小球經(jīng)過最低點(diǎn)C時(shí)的速度v_C=$\sqrt{6gR}$；．
②小球的速度v與角速度ω（單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過多少角度）、轉(zhuǎn)動(dòng)半徑R的關(guān)系為v=ωR，小球到達(dá)位置B時(shí)的角速度為ω_B，請(qǐng)推理證明：ω_B=$\sqrt{\frac{3g}{R}}$．

Answer 1

分析 （1）小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒，設(shè)小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為v_C，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式即可求解；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出B點(diǎn)速度，由圓周運(yùn)動(dòng)角速度ω與線速度v的關(guān)系，得小球在B點(diǎn)的角速度．

解答 解：（1）小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒，設(shè)小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為v_C，根據(jù)機(jī)械能守恒定律
mg2R+$\frac{1}{2}$mv_A²=$\frac{1}{2}$mv_C²                            
解得v_C=$\sqrt{6gR}$；                        
（2）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大小為v_B，根據(jù)機(jī)械能守恒定律
mgR（1-sin30°）+$\frac{1}{2}$mv_A²=$\frac{1}{2}$mv_B²         
解得：v_B=$\sqrt{3gR}$；             
由圓周運(yùn)動(dòng)角速度ω與線速度v的關(guān)系，得小球在B點(diǎn)的角速度
ω_B=$\frac{{v}_{B}}{R}$=$\sqrt{\frac{3g}{R}}$．
故答案為：（1）$\sqrt{6gR}$；（2）證明過程略．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了機(jī)械能守恒定律及圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式、角速度與線速度的關(guān)系，理解和熟記相應(yīng)的公式是關(guān)鍵．