Question

1．液壓千斤頂是利用帕斯卡發(fā)現(xiàn)的“密閉容器內的液體能夠把施加于密閉液體所受到的壓強大小不變的向各個方向傳遞”的原理制成的．圖為一小型千斤頂?shù)慕Y構示意圖．已知大活塞A的直徑為D₁，小活塞B的直徑為D₂，手柄的長度OC=L，小活塞與手柄的連接點D到轉軸O的距離OD=L₂．現(xiàn)用此千斤頂使質量為m的重物升高了h．
（1）若此千斤頂?shù)男�率為η，在這一過程中人做的功為多少？
（2）若此千斤頂?shù)男�率�?00%，當重物上升時，人對手柄的作用力F至少要多大？

Answer 1

分析 （1）利用W=Gh=mgh求出將重物托起h需要做的功，設人對手柄做的功為W₂，則千斤頂?shù)男�率為�?$\frac{{W}_{1}}{{W}_{2}}$，
據此求總功（人做的功）；
（2）設大活塞的面積為S₁，小活塞的面積為S₂，利用帕斯卡原理求作用在小活塞上的壓力；動力和阻力都與杠桿垂直時，手對杠桿的壓力最小．利用杠桿平衡條件可求人對手柄的作用力．

解答 解：
（1）將重物托起h需要做的有用功W₁=mgh，
設人對手柄做的功為W₂，則千斤頂?shù)男�率為�?$\frac{{W}_{1}}{{W}_{2}}$，
所以人做的功：W₂=$\frac{mgh}{η}$；
（2）設大活塞的面積為S₁，小活塞的面積為S₂，作用在小活塞上的壓力為F₁，
當千斤頂?shù)男�率�?00%時，
 $\frac{mg}{{S}_{1}}$=$\frac{{F}_{1}}{{S}_{2}}$，
而$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{π（\frac{{D}_{1}}{2}）^{2}}{π（\frac{{D}_{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{（{D}_{1}）^{2}}{（{D}_{2}）^{2}}$，
所以作用在小活塞上的壓力：F₁=$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$mg=$\frac{{D}_{2}^{2}}{{D}_{1}^{2}}$mg，
F₁和F都與杠桿垂直時，手對杠桿的壓力最�。�
根據杠桿平衡條件有：F₁×OD=F×OC，
即F₁L₂=FL，
解得：
F=$\frac{{F}_{1}{L}_{2}}{L}$=$\frac{{D}_{2}^{2}}{{D}_{1}^{2}}$mg×$\frac{{L}_{2}}{L}$．
答：（1）若此千斤頂?shù)男�率為η，在這一過程中人做的功為$\frac{mgh}{η}$；
（2）若此千斤頂?shù)男�率�?00%，當重物上升時，人對手柄的作用力F至少為$\frac{{D}_{2}^{2}}{{D}_{1}^{2}}$mg×$\frac{{L}_{2}}{L}$．

點評 本題考查了有用功、總功的計算、杠桿平衡條件和帕斯卡原理的應用，知識點多、綜合性強，屬于難題！