Question

【題目】如圖所示，在xOy平面第一象限內(nèi)的某區(qū)域有垂直平面勻強(qiáng)磁場(chǎng)（沒(méi)畫(huà)出），一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的電帶粒子。由y軸上的P點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，初速度為v0 ， 方向沿x軸正方向；P到O的距離為 ；后來(lái)，粒子經(jīng)過(guò)x軸上的Q點(diǎn)，此時(shí)速度方向與x軸負(fù)方向的夾角為θ=60°，Q到O的距離為2L，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度 。

（1）求帶電粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所用的時(shí)間；
（2）若勻強(qiáng)磁場(chǎng)的區(qū)域是圓形磁場(chǎng)，求圓形磁場(chǎng)的最小面積；
（3）若勻強(qiáng)磁場(chǎng)的區(qū)域是矩形，求矩形磁場(chǎng)的最小面積。

Answer 1

【答案】
（1）

帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，M點(diǎn)是進(jìn)磁場(chǎng)的點(diǎn)，N點(diǎn)是出磁場(chǎng)的點(diǎn)。

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供

，解得帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑

由幾何關(guān)系得：A點(diǎn)坐標(biāo)（3L， ）；PM= ；NQ= ；∠MCN=

帶電粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所用的時(shí)問(wèn)，

（2）

若勻強(qiáng)磁場(chǎng)的區(qū)域是圓形磁場(chǎng)，以MN為直徑的圓的面積最小，如下圖所示。

由幾何關(guān)系可得:

（3）

若勻強(qiáng)磁場(chǎng)的區(qū)域是矩形，矩形以 MN 為邊長(zhǎng)，MN 的對(duì)邊與圓形相切的矩形面積最小，如圖所示

最小矩形的面積

【解析】（1）根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式與轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出離開(kāi)磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再求出總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．（2）求出磁場(chǎng)的最小半徑，然后求出最小面積；（3）矩形的最小面積應(yīng)恰好包含粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，求出矩形的長(zhǎng)、寬，也就求出了矩形的最小面積．