Question

【題目】如圖甲所示是一定量理想氣體狀態(tài)變化所經歷的圖線，該圖線是以C點為圓心的圓,p軸是以為單位，Τ軸以為單位。、分別是C點壓強和熱力學溫度。若已知在此過程中氣體所經歷的最低溫度為，則在此過程中，氣體密度的最大值和最小值的比值應等于多少？

Answer 1

【答案】

【解析】

由理想氣體狀態(tài)方程得到。

對于一定量的氣體，C是一個常數。

由上式可知，在圖上，一定量理想氣體的等容過程是由一條過原點O的直線來表示的，而且該氣體的體積愈大，表示等容過程的直線的斜率愈小，因此判斷在題圖給出的圓過程中何點氣體密度最小、何點密度最大時，可由原點O對該圓作一系列相交的直線，如圖乙所示，其中斜率最大的直線為與圓上方相切的切線OA,斜率最小的直線為與圓下方相切的切線OB，由此可知該一定量氣體在變化過程中，在切點Α,該氣體的體積最大，在切點Β，該氣體的體積最小，對一定量氣體來說，其密度與體積成反比，即

。

其中，、分別是該氣體在Α、B點的體積，設以和、和分別表示該氣體在Α、B點的壓強和溫度，則由理想氣體狀態(tài)方程得到

。

代入上式得到。

上式可改寫成。

角β的意義如圖乙所示，從圖中可以看出，故上式可改寫成

。

由圖中可以看出，CB是圓的半徑r，，。代入上式并化簡，可得到

。

由圖可以看出，圓的半徑r與在變化過程中的氣體所經歷的最低溫度的關系是

。

將此關系代入上式就可得到