Question

【題目】如圖1所示的無(wú)限旋轉(zhuǎn)內(nèi)接正方形金屬絲網(wǎng)絡(luò)由一種粗細(xì)一致、材料相同的金屬絲構(gòu)成，其中每一個(gè)內(nèi)接正方形的頂點(diǎn)都在外側(cè)正方形四邊中點(diǎn)上．已知與最外側(cè)正方形邊長(zhǎng)相同的同種金屬絲的電阻為，求網(wǎng)絡(luò)中

(1)A、C兩端間等效電阻；

(2)E、G兩端間等效電阻．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)先考察B、D連線上的節(jié)點(diǎn)．由于這些節(jié)點(diǎn)都處于從A到C途徑的中點(diǎn)上，在A、C兩端接上電源時(shí)，這些節(jié)點(diǎn)必然處在一等勢(shì)線上．因此可將這些節(jié)點(diǎn)“拆開(kāi)”，將原網(wǎng)絡(luò)等效成如圖2所示網(wǎng)絡(luò)．

接著可將網(wǎng)絡(luò)沿A、C連線對(duì)折疊合，使原來(lái)左、右對(duì)稱的金屬絲、節(jié)點(diǎn)相互重合，從而又等效成如圖3所示網(wǎng)絡(luò)．

注意到圖3中A、C間網(wǎng)絡(luò)與J、I間網(wǎng)絡(luò)在形式上的相似性，而圖3且后者恰好是前者在線度上縮小的結(jié)構(gòu)，因此有

．

將折疊后與AE同長(zhǎng)的雙金屬絲電阻記為，對(duì)應(yīng)地與EH同長(zhǎng)的雙金屬絲電阻記為，不難算得到

，．

再將如圖3所示網(wǎng)絡(luò)“量化”成如圖4所示網(wǎng)絡(luò)，其中虛線框內(nèi)的上、下兩端間電阻為

于是有

解之，得．

(2)能否采用1．中所取的遞歸方法來(lái)求解呢？由于此時(shí)不存在結(jié)構(gòu)相似的內(nèi)層網(wǎng)絡(luò)，故不能采用這一方法．解決的方法當(dāng)然還是有的，這就是利用1．的結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)化．

據(jù)對(duì)稱性，將原網(wǎng)絡(luò)中AD邊的中點(diǎn)、BC邊的中點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)“拆開(kāi)”，等效成如圖5所示網(wǎng)絡(luò)．此網(wǎng)絡(luò)中通過(guò)E、G兩端與外正方形連接的內(nèi)無(wú)限小網(wǎng)絡(luò)與原網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相同，只是線度縮短為原線度的倍，小網(wǎng)絡(luò)E、G之間的等效電阻便為原網(wǎng)絡(luò)A、C間等效電阻的倍．據(jù)此，可將圖5網(wǎng)絡(luò)“量化”成圖6所示的網(wǎng)絡(luò)，有

將1．中算得的代入后，可得