Question

【題目】如圖所示，豎直固定平行放置的兩條相同長直導(dǎo)線1和2相距為（長直導(dǎo)線的長度），兩導(dǎo)線中通有方向和大小都相同的穩(wěn)恒電流，電流方向向上，導(dǎo)線中正離子都是靜止的，每單位長度導(dǎo)線中正離子的電荷量為；形成電流的導(dǎo)電電子以速度沿導(dǎo)線向下勻速運動，每單位長度的導(dǎo)線中導(dǎo)電電子的電荷量為已知：單位長度電荷量為的無限長均勻帶電直導(dǎo)線在距其距離為處產(chǎn)生的電場的強(qiáng)度大小為，其中是常量；當(dāng)無限長直導(dǎo)線通有穩(wěn)恒電流時，電流在距導(dǎo)線距離為處產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，其中是常量。試?yán)�用狹義相對論中的長度收縮公式求常量和的比值？提示：忽略重力；正離子和電子的電荷量與慣性參照系的選取無關(guān)；真中的光速為

.

Answer 1

【答案】

【解析】

在相對于正離子靜止的參考系中，導(dǎo)線中的正離子不動，導(dǎo)電電子以速度向下勻速運動；在相對于導(dǎo)電電子靜止的參考系中，導(dǎo)線中導(dǎo)電電子不動，正離子以速度向上勻速運動. 下面分四步進(jìn)行分析.

第一步，在參考系中，考慮導(dǎo)線2對導(dǎo)線1中正離子施加電場力的大小和方向.

若系中一些正離子所占據(jù)的長度為，則在系中這些正離子所占據(jù)的長度變?yōu)?/span>，由相對論中的長度收縮公式有，式中. ①

設(shè)在參考系和中，每單位長度導(dǎo)線中正離子電荷量分別為和，由于離子的電荷量與慣性參考系的選取無關(guān)，故. ②

由①和②式得. ③

設(shè)在系中一些導(dǎo)電電子所占據(jù)的長度為，在系中這些導(dǎo)電電子所占據(jù)的長度為，則由相對論中的長度收縮公式有. ④

同理，由于電子電荷量的值與慣性參考系的選取無關(guān)，便有

， ⑤

式中，和分別為在參考系和中單位長度導(dǎo)線中導(dǎo)電電子的電荷量.

在參照系中，導(dǎo)線2單位長度帶的電荷量為

. ⑥

它在導(dǎo)線1處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的大小為

. ⑦

電場方向水平向左. 導(dǎo)線1中電荷量為的正離子受到的電場力的大小為

. ⑧

電場力方向水平向左.

第二步，在參考系中，考慮導(dǎo)線2對導(dǎo)線1中正離子施加的磁場力的大小和方向.

在參考系中，以速度向上運動的正離子形成的電流大小為

. ⑨

導(dǎo)線2中的電流在導(dǎo)線1處產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

. ⑩

磁場方向垂直紙面向外，導(dǎo)線1中電荷量為的正離子所受到的磁場力的大小為

.

磁場力方向水平向右，與正離子所受到的電場力的方向相反.

第三步，在參考系中，考慮導(dǎo)線2對導(dǎo)線1中正離子施加的電場力和磁場力的大小和方向. 由題設(shè)條件，導(dǎo)線2所帶的正電荷與負(fù)電荷之和為零，即

.

因而，導(dǎo)線2對導(dǎo)線1中正離子施加的電場力為零，即

.

注意到在系中，導(dǎo)線1中正離子不動，即

.

導(dǎo)線2對導(dǎo)線1中正離子施加的磁場力為零，即

.

式中，是在系導(dǎo)線2中的電流在導(dǎo)線1處產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小. 于是，在系中，導(dǎo)線2對導(dǎo)線1中正離子施加的電場力和磁場力的合力為零.

第四步，已說明在系中導(dǎo)線2對導(dǎo)線1中正離子施加的電場力和磁場力的合力為零，如果導(dǎo)線1中正離子還受到其他力的作用，所有其他力的合力必為零（因為正離子靜止），在系中，導(dǎo)線2對導(dǎo)線1中正離子施加的電場力和磁場力的合力的大小為

.

因為相對系，上述可能存在的其他力的合力仍應(yīng)為零，而正離子仍處于勻速運動狀態(tài)，所以式應(yīng)等于零，故

.

由⑧式得：.

本題是第29屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題.作為參與物理競賽的學(xué)生，本題也許無須推導(dǎo)，僅從已知的電流的磁場與帶電導(dǎo)線的電場知識，記下相應(yīng)的常量，便易知，但這樣肯定是不能得分的. 但若要按題目的要求，利用相對論的尺縮效應(yīng)給予推導(dǎo)，如無超強(qiáng)的物理敏感性，幾乎找不到解決問題的入口.本題的命題方式無疑告訴我們，對于我們所學(xué)的知識，應(yīng)不僅僅只會套公式解題，更應(yīng)該掌握其內(nèi)核，作更深入的探討，只有這樣，才能在新的物理情境面前游刃有余.本題也涉及了電荷量與慣性參照系的選擇無關(guān).