Question

【題目】用鉸鏈固定的板上，離鉸鏈距離R處放有小墊圈。水平放置的板在豎直面上突然開始以角速度繞鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)。問：當(dāng)板與水平面傾斜成多大角時(shí)，小墊圈開始沿板下滑？（墊圈與板之間摩擦因數(shù)）

Answer 1

【答案】在情況下，當(dāng)時(shí)，墊圈開始沿板滑動(dòng)；在情況下，當(dāng)時(shí)。墊圈開始沿板滑向鉸鏈。

【解析】

如果把板的自由端放下，板開始劇烈轉(zhuǎn)動(dòng)，那么在開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)刻墊圈立即脫離板。所以我們將研究板的自由端升高時(shí)情況。

當(dāng)使板具有足夠大的角速度時(shí)墊圈立即開始沿板下滑。當(dāng)角速度不是太大時(shí)，墊圈在一段時(shí)間內(nèi)將相對(duì)板不動(dòng)，這時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)，然后開始下滑。

墊圈受到重力、支持力N和靜摩擦力f的作用（如圖所示）。由于做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)墊圈加速度等于且指向鉸鏈，有

，。

墊圈相對(duì)板不動(dòng)應(yīng)該滿足條件。因此，當(dāng)時(shí)墊圈不會(huì)沿板滑動(dòng)。

由此得出，在情況下，墊圈立即開始沿板滑動(dòng)。

現(xiàn)在設(shè)，且，確定在什么條件下墊圈滑向鉸鏈且不離開板。

1．如果開始滿足條件，墊圈將滑向鉸鏈。引入符號(hào)：

，

于是推導(dǎo)的條件可寫成：

，

或者。

注意，由于，有，所以從某一個(gè)角值開始，所研究的條件將得到滿足。

2．同理，如果，墊圈將可以離開鉸鏈上滑。

該條件可以寫成：，但是當(dāng)時(shí)條件不滿足。

綜合所得結(jié)果，得出答案：在情況下，當(dāng)時(shí)，墊圈開始沿板滑動(dòng)；在情況下，當(dāng)時(shí)。墊圈開始沿板滑向鉸鏈。