Question

【題目】有一薄透鏡如圖所示，面是旋轉(zhuǎn)橢球面（橢圓繞長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面），其焦點(diǎn)為和；面是球面，其球心C與重合已知此透鏡放在空氣中時(shí)能使從無(wú)窮遠(yuǎn)且處于橢球長(zhǎng)軸的物點(diǎn)射來(lái)的全部入射光線（不限于傍軸光線）會(huì)聚于一個(gè)像點(diǎn)上，橢圓的偏心率為.

（1）求此透鏡材料的折射率（要論證）.

（2）如果將此透鏡置于折射率為的介質(zhì)中，并能達(dá)到上述同樣的要求，橢圓應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

【答案】（1）　　（2）要求

【解析】

根據(jù)題設(shè)，所有平行于旋轉(zhuǎn)橢球長(zhǎng)軸的入射光線經(jīng)旋轉(zhuǎn)橢球面和球面兩次折射后全部都能會(huì)聚于同一像點(diǎn)，可作出如下論證：如果經(jīng)橢球面折射后射向球面的光線都射向球心C，即射向旋轉(zhuǎn)橢球面的第二焦點(diǎn)，則可滿足題設(shè)要求.光路圖如圖所示：為入射線，為經(jīng)橢球面折射后的折射線，為A點(diǎn)處橢球面的法線，為入射角，為折射角。根據(jù)橢圓的性質(zhì)，法線平分，故與法線的夾角也是，由正弦定律可得

.

從而可求得.

為長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度，為焦點(diǎn)間的距離；即只要滿足以上條件，任意入射角為的平行于旋轉(zhuǎn)橢球長(zhǎng)軸的入射光線都能會(huì)聚于C（即）點(diǎn)，

（2）如果透鏡置于折射率為的介質(zhì)中，則要求，即橢圓的偏心率應(yīng)滿足.

由于橢圓的，故如果就無(wú)解.只要，總可以找到一個(gè)橢球面能滿足要求，如果僅從中學(xué)物理規(guī)律方面來(lái)看，幾何光學(xué)僅有光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播、反射定律、折射定律等幾個(gè)基本規(guī)律，或者說只有費(fèi)馬原理，但將其用于具體的背景下，則得到了不同的成像或光線的傳播規(guī)律，如鏡面反射成像、球面折射成像、薄透鏡成像等等，由此引申出其他的問題.本題所給的模型其實(shí)也可作為定理推廣的，只是模型普適性不強(qiáng)而已.從本題的推導(dǎo)過程看，沒有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)不熟悉，問題便很難得到解決.有必要提醒從事物理競(jìng)賽學(xué)習(xí)的學(xué)生，圓錐曲線的各種性質(zhì)應(yīng)作專題研究，盡可能全面了解.