Question

已知M（a，2）是拋物線(xiàn)y²=2x上的一個(gè)定點(diǎn)，直線(xiàn)MP、MQ的傾斜角之和為180°，且與拋物線(xiàn)分別交于P、Q兩個(gè)不同的點(diǎn)．
（1）求a的值；
（2）求證：滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)PQ是一組平行直線(xiàn)．

Answer 1

分析：（1）將M代入拋物線(xiàn)求出a即可，
（2）利用直線(xiàn)MP，MQ的傾斜角的和為π則其斜率互為相反數(shù)，設(shè)出MP的方程，將方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出P的縱坐標(biāo)與k的關(guān)系；同理得到Q的縱坐標(biāo)與k的關(guān)系；利用兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率公式求出PQ的斜率即得．

解答：解：（1）：將點(diǎn)M（a，2）的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程，
得4=2a，∴a=2，即為所求．（4分）
（2）證明：依題意，
直線(xiàn)MP和直線(xiàn)MQ的傾斜角均不為0°和90°，即它們的斜率均在且不為0．（5分）設(shè)kMP=

1

m

，kMQ=-

1

m

，(m≠0)
則直線(xiàn)MP的方程為m（y-2）=x-2，直線(xiàn)MQ的方程為-m（y-2）=x-2，（7分）
由

m(y-2)=x-2 y2=2x

得：P(2(m+1)2，2(m-1))；由

-m(y-2)=x-2 y2=2x

得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2（m+1）2，-2（m+1））．（11分）
從而kPQ=

2(m-1)-[-2(m+1)]

2(m-1)2-2(m+1)2

=-

1

2

(常數(shù))（13分）
故直線(xiàn)PQ是一組平行直線(xiàn)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系常用的方法是將它們的方程聯(lián)立，通過(guò)韋達(dá)定理得到交點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系、考查兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率公式．