Question

已知直角三角形ABC的斜邊長AB=2，現(xiàn)以斜邊AB為軸旋轉一周，得旋轉體，當∠A=30°時，求此旋轉體的體積與表面積的大小．

Answer 1

考點：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：空間位置關系與距離

分析：由已知中直角三角形ABC的斜邊長AB=2，∠A=30°，判斷出以斜邊AB為軸旋轉一周，所得旋轉體的形狀是AB邊的高CO為底面半徑的兩個圓錐組成的組合體，計算出底面半徑及兩個圓錐高的和，代入圓錐體積公式，即可求出旋轉體的體積；該幾何體的表面積是兩個圓錐的側面積之和，分別計算出兩個圓錐的母線長，代入圓錐側面積公式，即可得到答案．

解答： 解：如圖以斜邊AB為軸旋轉一周，得旋轉體是以AB邊的高CO為底面半徑的兩個圓錐組成的組合體

∵AB=2，∠A=30°
∴CB=sin30°•AB=1，CA=cos30°•AB=

3

，
CO=

AC•CB

AB

=

3

2

故此旋轉體的體積V=

1

3

•πr²•h=

1

3

•π•CO²•AB=

π

2

…6分
（2）又∵CB=1，CA=

3

，
故此旋轉體的表面積
S=πr•（l+l′）=πCO•（AC+BC）=

1

2

（3+

3

）π…12分．

點評：本題考查的知識點是旋轉體，圓錐的體積和表面積，其中根據(jù)已知判斷出旋轉所得旋轉體的形狀及底面半徑，高，母線長等關鍵幾何量，是解答本題的關鍵．