Question

已知數(shù){a_n}列的前項(xiàng)和為S_n，λS_n+1=S_n+4（n∈N⁺，λ為常數(shù)），a₁=2，a₂=1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=

log2an+1

an+1

，S_n=b₁+b₂++b_n，求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由λS_n+1=S_n+4（n∈N⁺，λ為常數(shù)），a₁=2，a₂=1．可得當(dāng)n=1時(shí)，λS₂=S₁+4，解得λ=2．可得2S_n+1=S_n+4，即Sn+1=

1

2

Sn+2，變形為Sn+1-4=

1

2

(Sn-4)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得Sn=4-(

1

2

)n-2．再利用遞推式即可得出a_n．
（II）b_n=

log221-n

21-n

=（1-n）•2^n-1，再利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵λS_n+1=S_n+4（n∈N⁺，λ為常數(shù)），a₁=2，a₂=1．
∴當(dāng)n=1時(shí)，λS₂=S₁+4，即λ（2+1）=2+4，解得λ=2．
∴2S_n+1=S_n+4，即Sn+1=

1

2

Sn+2，
變形為Sn+1-4=

1

2

(Sn-4)，
∴數(shù)列{S_n-4}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為S₁-4=2-4=-2，公比為

1

2

．
∴S_n-4=-2×(

1

2

)n-1，
∴Sn=4-(

1

2

)n-2．
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=4-(

1

2

)n-3，
∴a_n=S_n-S_n-1=4-(

1

2

)n-2-[4-(

1

2

)n-3]
=(

1

2

)n-2．
當(dāng)n=1時(shí)也成立，
∴an=(

1

2

)n-2．
（Ⅱ）b_n=

log2an+1

an+1

=

log221-n

21-n

=（1-n）•2^n-1，
∴S_n=b₁+b₂++b_n=0-2-2×2²-3×2³-…-（n-1）•2^n-1，
2S_n=0-2²-2×2³-…-（n-2）•2^n-1-（n-1）•2ⁿ．
∴-S_n=-2-2²-…-2^n-1+（n-1）•2ⁿ，
∴S_n=2+2²+…+2^n-1+（1-n）•2ⁿ=

2n-1

2-1

-1+（1-n）•2ⁿ=（2-n）•2ⁿ-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．