Question

如圖所示,在四棱錐中,底面為矩形,平面,點在線段上,平面.

(Ⅰ)證明:平面;

(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 只需證 和 即可。(Ⅱ)3.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)因為平面,平面,所以………2分

又因為平面,平面,所以………4分

而,平面,平面

所以平面.                              …………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面,而平面,所以

而為矩形,所以為正方形,于是. ……7分

法1:以點為原點,、、為軸、軸、軸,建立空間直角坐標系.則、、、,于是,.        …… ………8分

設(shè)平面的一個法向量為,則             ,從而,令,得………………9分

而平面的一個法向量為.   ……………10分

所以二面角的余弦值為,

于是二面角的正切值為3.              ………………12分

法2:設(shè)與交于點,連接.因為平面,平面,平面,所以,,于是就是二面角的平面角.又因為平面,平面,所以是直角三角形.由∽可得,而,所以,,而,所以,于是,而,于是二面角的正切值為.

考點：線面垂直的判定定理；線面垂直的性質(zhì)定理；二面角。

點評：二面角的求法是立體幾何中的一個難點。我們解決此類問題常用的方法有兩種：①綜合法，綜合法的一般步驟是：一作二說三求。②向量法，運用向量法求二面角應(yīng)注意的是計算。很多同學都會應(yīng)用向量法求二面角，但結(jié)果往往求不對，出現(xiàn)的問題就是計算錯誤。