如圖所示,在四棱錐中,底面
為矩形,
平面
,點
在線段
上,
平面
.
(Ⅰ)證明:平面
;
(Ⅱ)若,
,求二面角
的正切值.
(Ⅰ) 只需證 和
即可。(Ⅱ)3.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)因為平面
,
平面
,所以
………2分
又因為平面
,
平面
,所以
………4分
而,
平面
,
平面
所以平面
. …………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面
,而
平面
,所以
而為矩形,所以
為正方形,于是
.
……7分
法1:以點為原點,
、
、
為
軸、
軸、
軸,建立空間直角坐標系
.則
、
、
、
,于是
,
. ……
………8分
設(shè)平面的一個法向量為
,則
,從而
,令
,得
………………9分
而平面的一個法向量為
. ……………10分
所以二面角的余弦值為
,
于是二面角的正切值為3. ………………12分
法2:設(shè)與
交于點
,連接
.因為
平面
,
平面
,
平面
,所以
,
,于是
就是二面角
的平面角.又因為
平面
,
平面
,所以
是直角三角形.由
∽
可得
,而
,所以
,
,而
,所以
,于是
,而
,于是二面角
的正切值為
.
考點:線面垂直的判定定理;線面垂直的性質(zhì)定理;二面角。
點評:二面角的求法是立體幾何中的一個難點。我們解決此類問題常用的方法有兩種:①綜合法,綜合法的一般步驟是:一作二說三求。②向量法,運用向量法求二面角應(yīng)注意的是計算。很多同學都會應(yīng)用向量法求二面角,但結(jié)果往往求不對,出現(xiàn)的問題就是計算錯誤。
科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年北京市海淀區(qū)高三上學期期末考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
如圖所示,在四棱錐中,底面四邊形
是菱形,
,
是邊長為2的等邊三角形,
,
.
(Ⅰ)求證:底面
;
(Ⅱ)求直線與平面
所成角的大小;
(Ⅲ)在線段上是否存在一點
,使得
∥平面
?如果存在,求
的值,如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年福建省、二中高三上學期期末聯(lián)考文科數(shù)學卷(解析版) 題型:解答題
如圖所示,在四棱錐中,底面ABCD是邊長為a的正方形,側(cè)面
底面ABCD,且
,若E,F分別為PC,BD的中點.
(1)求證:平面PAD;
(2)求證:平面PDC平面PAD;
(3)求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年廣東省湛江市高三8月第一次月考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)如圖所示,在四棱錐中,
平面
,
,
,
,
是
的中點.
(1)證明:平面
;
(2)若,
,
,求二面角
的正切值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年福建省高三第二次質(zhì)檢理科數(shù)學 題型:解答題
如圖所示,在四棱錐中,底面ABCD是矩形,
,
,
,
, 垂足為
,
(1)求證:;
(2)求直線與平面
所成角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011云南省高一下學期期末考試數(shù)學 題型:解答題
本小題滿分12分)如圖所示,在四棱錐中,
平面
,底面
是直角梯形,
,
。
(1)求證:平面平面
;
(2)若,求二面角
的大小。
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